ما هو التكامل الأسي En(x)؟
التكامل الأسي من الرتبة n، ويُرمز له بـ \(E_{\text{n}}(x)\)، هو التكامل المحدد للدالة \(e^{-xt}/t^{\text{n}}\) من \(t = 1\) إلى ما لا نهاية. وتظهر هذه الدوال في كثير من مجالات الفيزياء والهندسة، إذ تُستخدم في الانتقال الإشعاعي ونقل النيوترونات وتوصيل الحرارة ونظرية الهوائيات. وعند تثبيت رتبة صحيحة n، تكون \(E_{\text{n}}(x)\) دالة ملساء موجبة متناقصة باطراد بدلالة x، وتؤول إلى الصفر كلما كبرت قيمة x. تبني هذه الحاسبة جدولاً كاملاً من الأزواج (x، \(E_{\text{n}}(x)\)) مع رسم بياني خطي يتيح لك دراسة المنحنى بنظرة واحدة.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخِل أربعة أرقام: الرتبة n (عدد صحيح غير سالب مثل 0 أو 1 أو 2 أو 3)، والقيمة الابتدائية لـ x التي يبدأ منها الجدول، ومقدار الزيادة (الخطوة) الذي يُضاف إلى x في كل صف تالٍ، وعدد التكرارات (أي عدد الصفوف المراد توليدها). تحسب الأداة $$x_i = \text{القيمة الابتدائية} + i \cdot \text{الخطوة}$$ للقيم i من 0 إلى عدد الصفوف ناقص 1، ثم تحسب قيمة \(E_{\text{n}}(x_i)\) عند كل نقطة. وبالقيم الافتراضية (\(n = 2\)، البداية 0، الخطوة 0.02، 101 صف) تحصل على قيم x تمتد من 0.00 إلى 2.00 بخطوات مقدارها 0.02.
شرح الصيغة
تُحسب \(E_{\text{n}}(x)\) بالوصفة العددية الكلاسيكية المعروفة: فعندما يكون \(x > 1\) يتقارب نشر الكسر المستمر بطريقة لينتز (Lentz) بسرعة، أما عندما يكون \(0 < x \le 1\) فيُستخدم نشر المتسلسلة الأسية. وتُعالَج القيم الخاصة مباشرةً: حيث \(E_0(x) = e^{-x}/x\)، و\(E_{\text{n}}(0) = 1/(n-1)\) عندما \(n \ge 2\). أما الحالة \(E_1(0)\) فتتباعد إلى ما لا نهاية، ولذا يُؤشَّر عليها في الجدول بدلاً من طباعتها كرقم.
مثال محلول
لنأخذ \(n = 2\) وx = 1. باستخدام المتطابقة \(E_2(x) = e^{-x} - x \cdot E_1(x)\) مع العلم أن \(E_1(1) \approx 0.2193839\)، نحصل على $$E_2(1) = 0.3678794 - 0.2193839 = 0.1484955$$ وتُرجِع الحاسبة القيمة نفسها. وعند \(x = 0\) تكون \(E_2(0) = 1/(2-1) = 1\)، وعند \(x = 2\) تكون \(E_2(2) \approx 0.0375343\) — فالمنحنى متناقص بوضوح.
الأسئلة الشائعة
هل يمكن أن تكون n كسراً؟ لا. هذه الأداة معرَّفة فقط للرتب الصحيحة غير السالبة، وأي قيمة غير صحيحة لـ n تقع خارج مجالها.
لماذا يظهر في أحد الصفوف "يتباعد"؟ لأن \(E_1(0)\) قيمتها لا نهائية رياضياً (التكامل لا يتقارب عندها)، ولذا يُعلَّم ذلك الصف بأنه متباعد بدلاً من إظهار رقم مضلِّل.
ماذا عن قيم x السالبة؟ عندما \(n \ge 1\) يتباعد التكامل عموماً عندما \(x < 0\)، ولذلك لا تُرجِع الحاسبة قيماً منتهية إلا عندما \(x \ge 0\).
