Tích phân mũ En(x) là gì?
Tích phân mũ bậc n, ký hiệu En(x), là tích phân xác định của e-xt/tn lấy từ t = 1 đến vô cực. Hàm này xuất hiện khắp nơi trong vật lý và kỹ thuật: truyền bức xạ, vận chuyển neutron, dẫn nhiệt và lý thuyết ăng-ten đều dùng đến nó. Với một bậc nguyên n cố định, đây là một hàm trơn, dương, giảm đơn điệu theo x và tiến về 0 khi x đủ lớn. Công cụ này dựng nguyên một bảng các cặp (x, En(x)) cùng đồ thị đường để bạn quan sát đường cong chỉ trong một cái nhìn.
$$E_{\text{n}}(x_i) = \int_{1}^{\infty} \frac{e^{-x_i\,t}}{t^{\,\text{n}}}\, dt, \qquad x_i = \text{Initial }x + i \cdot \text{Step}$$
Cách dùng máy tính
Bạn nhập bốn con số: bậc n (một số nguyên không âm như 0, 1, 2, 3), giá trị x ban đầu nơi bảng bắt đầu, bước nhảy cộng vào x ở mỗi dòng kế tiếp, và số dòng cần tạo (số lần lặp). Công cụ tính \(x_i = x_{\text{đầu}} + i \cdot \text{bước}\) với \(i = 0\) đến \(\text{số\_dòng} - 1\) rồi tính \(E_{\text{n}}(x_i)\) tại từng điểm. Với giá trị mặc định (n = 2, bắt đầu 0, bước 0,02, 101 dòng), bạn sẽ có x chạy từ 0,00 đến 2,00 theo từng bước 0,02.
Giải thích công thức
En(x) được tính bằng phương pháp số kinh điển: với x > 1, khai triển phân số liên tục Lentz hội tụ rất nhanh, còn với 0 < x ≤ 1 thì dùng khai triển chuỗi lũy thừa. Các giá trị đặc biệt được xử lý trực tiếp: \(E_0(x) = e^{-x}/x\) và \(E_n(0) = 1/(n-1)\) với \(n \ge 2\). Riêng trường hợp \(E_1(0)\) phân kỳ ra vô cực nên được đánh dấu trong bảng thay vì hiển thị một con số.
Ví dụ minh họa
Lấy n = 2 và x = 1. Dùng hệ thức \(E_2(x) = e^{-x} - x \cdot E_1(x)\) với \(E_1(1) \approx 0{,}2193839\), ta được $$E_2(1) = 0{,}3678794 - 0{,}2193839 = 0{,}1484955.$$ Máy tính cho ra đúng giá trị này. Tại x = 0, \(E_2(0) = 1/(2-1) = 1\), và tại x = 2, \(E_2(2) \approx 0{,}0375343\) — đường cong rõ ràng đang giảm dần.
Câu hỏi thường gặp
n có thể là phân số không? Không. Công cụ này chỉ xác định cho các bậc nguyên không âm; n không nguyên nằm ngoài miền áp dụng.
Vì sao có dòng ghi "phân kỳ"? \(E_1(0)\) về mặt toán học là vô cực (tích phân không hội tụ tại đó), nên dòng đó được đánh dấu là phân kỳ thay vì hiện một con số gây hiểu nhầm.
Còn x âm thì sao? Với \(n \ge 1\), tích phân thường phân kỳ khi x < 0, vì vậy máy tính chỉ trả về giá trị hữu hạn với \(x \ge 0\).
