Công cụ này làm gì
Đây là công cụ thống kê toán học thuần túy, có thể dùng ở mọi nơi, giúp tính giá trị của phân phối mũ trên một khoảng các giá trị x và trả về bảng các cặp (x, y) sẵn sàng để vẽ đồ thị. Bạn có thể tính hàm mật độ xác suất \(f(x)\), xác suất tích lũy dưới \(P(x)\) (tức hàm phân phối tích lũy CDF) hoặc xác suất tích lũy trên \(Q(x)\) (hàm sống sót). Vì đây là toán học thuần túy nên kết quả hoàn toàn giống nhau ở bất kỳ quốc gia hay lĩnh vực ứng dụng nào.
Dạng tham số tỷ lệ
Công cụ này dùng dạng tham số tỷ lệ \(b\) thay vì tốc độ lambda. Ở đây \(b\) chính là giá trị trung bình của phân phối, còn tốc độ là \(\lambda = 1/b\). Hàm mật độ là $$f(x,b) = \frac{1}{b}\, e^{-x/b}$$ hàm phân phối tích lũy là $$P(x,b) = 1 - e^{-x/b}$$ và hàm sống sót là $$Q(x,b) = e^{-x/b}.$$ Chúng luôn thỏa mãn \(P(x,b) + Q(x,b) = 1\) với mọi giá trị x hợp lệ. Phân phối được xác định khi \(x \ge 0\) và \(b > 0\).
Cách sử dụng
Hãy chọn một hàm (mật độ, tích lũy dưới hoặc tích lũy trên). Sau đó nhập tham số tỷ lệ \(b\) (giá trị trung bình, phải dương), giá trị x ban đầu (phải bằng 0 hoặc lớn hơn), bước tăng cộng thêm vào mỗi dòng, và số lần lặp (số dòng). Bảng bắt đầu từ giá trị x ban đầu và cộng thêm bước tăng cho mỗi dòng kế tiếp.
Ví dụ minh họa
Với hàm = mật độ, \(b = 2\), x ban đầu = 0, bước tăng = 0,1 và 101 dòng: dòng đầu tiên cho \(f(0) = \frac{1}{2}e^0 = 0{,}5\). Tại \(x = 1{,}0\), \(f = 0{,}5 \cdot e^{-0{,}5} = 0{,}303265\). Tại \(x = 2{,}0\), \(f = 0{,}5 \cdot e^{-1} = 0{,}183940\). Dòng cuối cùng (\(x = 10{,}0\)) cho \(f = 0{,}5 \cdot e^{-5} = 0{,}003369\). Chuyển sang tích lũy dưới tại \(x = 2\) ta được \(P = 1 - e^{-1} = 0{,}632121\), và tích lũy trên cho \(Q = e^{-1} = 0{,}367879\), hai giá trị này cộng lại bằng 1.
Câu hỏi thường gặp
b là giá trị trung bình hay tốc độ? \(b\) là giá trị trung bình (tham số tỷ lệ). Tốc độ lambda bằng \(1/b\), nên \(b\) càng lớn thì các sự kiện xảy ra càng thưa.
Vì sao x phải lớn hơn hoặc bằng 0? Phân phối mũ chỉ xác định trên miền x không âm; với \(x < 0\) thì mật độ bằng 0, \(P\) bằng 0 và \(Q\) bằng 1.
Nếu tôi đặt bước tăng bằng 0 thì sao? Mọi dòng sẽ có cùng một giá trị x. Điều này được phép, nhưng thông thường bạn nên dùng bước tăng dương để vẽ được đường cong.
