Công cụ này làm gì
Máy Tính Đồ Thị Phân Phối Gamma tính phân phối Gamma trên một lưới các giá trị x và trả về ba đại lượng liên quan tại mỗi điểm: mật độ xác suất f(x), xác suất tích lũy dưới P(x) và xác suất tích lũy trên (hàm sống sót) Q(x). Phân phối Gamma là một phân phối liên tục xác định với x > 0, được dùng rộng rãi trong kỹ thuật độ tin cậy, mô hình hàng đợi, mô hình hóa lượng mưa và thống kê Bayes. Công cụ sử dụng cách tham số hóa theo tỷ lệ (hình dạng a, tỷ lệ b), không phải theo tốc độ (rate).
Các thông số bạn cần nhập
- Chọn hàm tính — chọn đường cong muốn tính: mật độ f, tích lũy dưới P, hay tích lũy trên Q.
- Tham số hình dạng a — phải dương; quyết định độ lệch và đỉnh của đường cong.
- Tham số tỷ lệ b — phải dương; kéo giãn phân phối dọc theo trục x (kỳ vọng = a·b).
- Giá trị x ban đầu — điểm bắt đầu của lưới.
- Bước nhảy của x — khoảng cách giữa các giá trị x liên tiếp.
- Số điểm cần lặp — số điểm trên lưới cần tạo (tối đa 10.000).
Nếu a hoặc b không dương, chúng sẽ được điều chỉnh về một giá trị rất nhỏ; bước nhảy ≤ 0 mặc định thành 0,1; và số điểm được giới hạn trong khoảng 1–10.000.
Công thức
Hàm mật độ xác suất là:
$$f(x, a, b) = \frac{x^{\,a-1}\,e^{-x/b}}{\Gamma(a)\cdot b^{\,a}}$$
Xác suất tích lũy dưới \(P(x)\) chính là hàm gamma không đầy đủ đã chuẩn hóa \(P(a, x/b)\), được tính bằng khai triển chuỗi khi \(x/b < a+1\) và bằng phân số liên tục trong các trường hợp còn lại. Xác suất tích lũy trên (hàm sống sót) là \(Q(x) = 1 - P(x)\). Hàm gamma \(\Gamma(a)\) được tính bằng phép xấp xỉ Lanczos ở dạng logarit để đảm bảo ổn định số học.
Ví dụ minh họa
Giả sử \(a = 2\), \(b = 1\), x bắt đầu = 0, bước nhảy = 1 và 4 điểm (\(x = 0, 1, 2, 3\)). Mật độ tại \(x = 2\) là $$f = \frac{2^{1}\cdot e^{-2}}{\Gamma(2)\cdot 1} = \frac{2\cdot 0{,}1353}{1} = 0{,}2707.$$ Xác suất tích lũy dưới tại \(x = 2\) là \(P(2, 2) \approx 0{,}5940\), do đó xác suất sống sót \(Q(2) \approx 0{,}4060\). Mỗi điểm trên lưới đều trả về các giá trị này, sẵn sàng để vẽ thành một đường cong trơn mượt.
Câu hỏi thường gặp
Công cụ dùng tỷ lệ hay tốc độ? Công cụ dùng tham số tỷ lệ \(b\). Nếu bạn có tốc độ \(\lambda\) thay vào đó, hãy đặt \(b = 1/\lambda\).
P và Q khác nhau thế nào? \(P(x)\) là xác suất biến số không vượt quá x (tích lũy từ bên trái); \(Q(x) = 1 - P(x)\) là xác suất biến số vượt quá x, thường gọi là hàm sống sót.
Vì sao a và b phải dương? Phân phối Gamma chỉ xác định với hình dạng và tỷ lệ dương. Các giá trị không dương sẽ được thay bằng một số gần bằng không để tránh lỗi, nhưng bạn nên nhập số dương hợp lệ để có kết quả có ý nghĩa.
