Công cụ này làm được gì
Công cụ này tính toán và vẽ phân phối t-Student với mọi bậc tự do \(\nu > 0\). Bạn có thể chọn một trong ba đại lượng: hàm mật độ xác suất f(x,ν), xác suất tích lũy dưới P(x,ν) (hàm CDF), hoặc xác suất tích lũy trên Q(x,ν) = 1 − P. Máy tính sẽ tạo một bảng các cặp (x, giá trị) trên khoảng bạn thiết lập rồi đưa vào biểu đồ đường.
Cách sử dụng
Chọn hàm cần tính (mật độ, tích lũy dưới hoặc tích lũy trên). Nhập bậc tự do \(\nu\). Sau đó đặt giá trị x ban đầu, bước nhảy (khoảng cách giữa các điểm liên tiếp) và số lần lặp (số điểm muốn tạo). Các điểm được tính theo công thức $$x_k = \text{startX} + k\cdot\text{stepX}$$ với \(k = 0..\text{iterations}-1\). Với các giá trị mặc định (bắt đầu \(-5\), bước \(0{,}1\), 101 điểm), x chạy từ \(-5\) đến \(+5\).
Giải thích công thức
Hàm mật độ là $$f(x,\nu) = \frac{\Gamma\!\left(\frac{\nu+1}{2}\right)}{\sqrt{\nu\pi}\,\Gamma\!\left(\frac{\nu}{2}\right)}\left(1+\frac{x^{2}}{\nu}\right)^{-\frac{\nu+1}{2}}.$$ Để giữ độ ổn định số học khi \(\nu\) lớn, ta tính các thừa số gamma thông qua hàm log-gamma. Xác suất tích lũy sử dụng hàm beta không hoàn chỉnh chuẩn hóa \(I_z\!\left(\frac{\nu}{2}, \frac{1}{2}\right)\) với \(z = \frac{\nu}{\nu+x^{2}}\): với \(x \ge 0\), \(P = 1 - \tfrac{1}{2}I_z\); với \(x < 0\), \(P = \tfrac{1}{2}I_z\). Theo tính đối xứng, \(P(0,\nu) = 0{,}5\).
Ví dụ minh họa
Với hàm mật độ khi \(\nu = 2\) tại \(x = 0\): \((1 + 0/2)^{-1.5} = 1\), và \(B(1/2, 1) = 2\), nên $$f(0,2) = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot 2} = 0{,}353553.$$ Với tích lũy dưới khi \(\nu = 2\) tại \(x = 0\), phân phối có tính đối xứng nên \(P(0,2) = 0{,}5\) và \(Q(0,2) = 0{,}5\).
Câu hỏi thường gặp
Điều gì xảy ra khi \(\nu\) tăng lên? Phân phối t tiến dần tới phân phối chuẩn tắc \(N(0,1)\); chẳng hạn \(f(0,\nu)\) tiến tới \(1/\sqrt{2\pi} \approx 0{,}39894\).
Bước nhảy có thể âm không? Có. Bước âm khiến x giảm dần; bước bằng 0 sẽ lặp lại cùng một giá trị x.
Vì sao \(\nu\) phải là số dương? Các thừa số \(\sqrt{\nu}\) và \(\Gamma(\nu/2)\) yêu cầu \(\nu > 0\); những giá trị không dương không được định nghĩa cho phân phối này.
