Phân phối Lévy là gì?
Phân phối Lévy là một phân phối xác suất liên tục, có đuôi nặng, được xác định cho các giá trị lớn hơn tham số vị trí mu. Phân phối này có hai tham số: tham số vị trí mu, dùng để dịch chuyển điểm bắt đầu của miền giá trị, và tham số tỷ lệ c (phải dương), dùng để giãn rộng phân phối. Đây là một phân phối ổn định (stable distribution) và xuất hiện trong vật lý (thời gian đến lần đầu của chuyển động Brown), tài chính, cũng như trong nghiên cứu khuếch tán bất thường. Đáng chú ý là cả kỳ vọng lẫn phương sai của phân phối này đều vô hạn, đó là lý do công cụ này báo cáo mật độ và xác suất tích lũy thay vì các đặc trưng tóm tắt.
Cách sử dụng máy tính
Hãy chọn đường cong cần hiển thị: hàm mật độ xác suất f, xác suất tích lũy dưới P, hoặc xác suất tích lũy trên Q. Nhập tham số vị trí mu và tham số tỷ lệ dương c. Sau đó xác định dải giá trị x cần tính bằng cách nhập giá trị bắt đầu, bước nhảy (gia số) và số điểm. Máy tính sẽ tính x tại từng điểm, in ra f, P và Q tại giá trị x đầu tiên, đồng thời vẽ đường cong của hàm bạn đã chọn trên toàn dải.
Giải thích công thức
Đặt \(s = x - mu\). Với \(s > 0\), hàm mật độ là $$f(\text{x}) = \sqrt{\frac{\text{c}}{2\pi}} \cdot \frac{e^{-\frac{\text{c}}{2\left(\text{x} - \text{mu}\right)}}}{\left(\text{x} - \text{mu}\right)^{3/2}}$$ Hàm phân phối tích lũy dưới là $$\begin{gathered} P(\text{x}) = \operatorname{erfc}\!\left(z\right) \\[1.5em] \text{where}\quad z = \sqrt{\frac{\text{c}}{2\left(\text{x} - \text{mu}\right)}} \end{gathered}$$ trong đó erfc là hàm sai số bù, còn hàm tích lũy trên (hàm sống sót) là $$\begin{gathered} Q(\text{x}) = \operatorname{erf}\!\left(z\right) \\[1.5em] \text{where}\quad z = \sqrt{\frac{\text{c}}{2\left(\text{x} - \text{mu}\right)}} \end{gathered}$$ Với x nhỏ hơn hoặc bằng mu thì không có khối lượng xác suất, nên \(f = 0\), \(P = 0\) và \(Q = 1\). Hàm sai số được tính bằng xấp xỉ hữu tỷ Abramowitz & Stegun 7.1.26.
Ví dụ minh họa
Với \(mu = 0\), \(c = 1\) và \(x = 1\): \(s = 1\), do đó $$f = \sqrt{1/(2\pi)} \cdot \exp(-0{,}5) = 0{,}398942 \cdot 0{,}606531 \approx 0{,}24197$$ Đối số \(z = \sqrt{1/2} = 0{,}70711\), \(\operatorname{erf}(z) \approx 0{,}68269\), nên \(P = \operatorname{erfc}(z) \approx 0{,}31731\) và \(Q \approx 0{,}68269\) — đúng các giá trị chuẩn của phân phối Lévy(0,1).
Câu hỏi thường gặp
Tại sao c phải lớn hơn 0? Tham số tỷ lệ quyết định độ trải rộng của phân phối; nếu c không dương thì hàm mật độ không xác định, vì vậy máy tính yêu cầu \(c > 0\).
Điều gì xảy ra khi x nhỏ hơn mu? Phân phối không có miền giá trị ở đó, nên \(f = 0\), xác suất tích lũy dưới \(P = 0\) và xác suất tích lũy trên \(Q = 1\).
Tại sao không có kỳ vọng và phương sai? Phân phối Lévy có đuôi nặng đến mức kỳ vọng và phương sai của nó phân kỳ ra vô hạn, do đó không có đặc trưng tóm tắt hữu hạn nào được báo cáo.
