ما هو توزيع ليفي؟
توزيع ليفي هو توزيع احتمالي متصل ذو ذيل ثقيل، مُعرَّف عند القيم الأكبر من معامل الموقع mu. يعتمد على معاملين: معامل الموقع mu الذي يحدد نقطة بداية المجال (الدعم)، ومعامل المقياس c (الذي يجب أن يكون موجبًا) الذي يتحكم في مدى انتشار التوزيع. وهو من التوزيعات المستقرة (Stable distributions)، ويظهر في الفيزياء (أزمنة العبور الأول للحركة البراونية) والتمويل ودراسة الانتشار الشاذ. والأمر اللافت أن كلًّا من متوسطه وتباينه لا نهائيان، ولهذا تعرض هذه الأداة قيم الكثافة والاحتمالات التراكمية بدلًا من العزوم الإحصائية المختصرة.
كيفية استخدام هذه الحاسبة
اختر المنحنى الذي تريد عرضه: دالة الكثافة الاحتمالية \(f\)، أو الاحتمال التراكمي الأدنى \(P\)، أو الاحتمال التراكمي الأعلى \(Q\). أدخل معامل الموقع mu ومعامل المقياس الموجب c. بعد ذلك حدِّد مجال قيم \(x\) المراد تقييمها عبر قيمة البداية ومقدار الزيادة (الخطوة) وعدد النقاط. تقوم الحاسبة بتقييم \(x\) عند كل نقطة، وتطبع قيم \(f\) و\(P\) و\(Q\) عند أول قيمة لـ \(x\)، وترسم الدالة المختارة كمنحنى على امتداد المجال.
شرح المعادلة
لنفترض أن \(s = x - mu\). عندما تكون \(s > 0\) تُعطى الكثافة بالعلاقة $$f(\text{x}) = \sqrt{\frac{\text{c}}{2\pi}} \cdot \frac{e^{-\frac{\text{c}}{2\left(\text{x} - \text{mu}\right)}}}{\left(\text{x} - \text{mu}\right)^{3/2}}$$ أما دالة التوزيع التراكمي الأدنى فهي $$\begin{gathered} P(\text{x}) = \operatorname{erfc}\!\left(z\right) \\[1.5em] \text{where}\quad z = \sqrt{\frac{\text{c}}{2\left(\text{x} - \text{mu}\right)}} \end{gathered}$$ حيث erfc هي دالة الخطأ المتممة، ودالة التوزيع الأعلى (دالة البقاء) هي $$\begin{gathered} Q(\text{x}) = \operatorname{erf}\!\left(z\right) \\[1.5em] \text{where}\quad z = \sqrt{\frac{\text{c}}{2\left(\text{x} - \text{mu}\right)}} \end{gathered}$$ عند قيم \(x\) المساوية لـ mu أو الأقل منها، لا توجد كتلة احتمالية، لذا تكون \(f = 0\) و\(P = 0\) و\(Q = 1\). وتُحسب دالة الخطأ باستخدام التقريب الكسري 7.1.26 من مرجع أبراموفيتز وستيغان.
مثال محلول
بأخذ \(mu = 0\) و\(c = 1\) و\(x = 1\): تكون \(s = 1\)، إذن $$f = \sqrt{1/(2\pi)} \cdot \exp(-0.5) = 0.398942 \cdot 0.606531 \approx 0.24197$$ والوسيط \(z = \sqrt{1/2} = 0.70711\)، و\(\operatorname{erf}(z) \approx 0.68269\)، إذن \(P = \operatorname{erfc}(z) \approx 0.31731\) و\(Q \approx 0.68269\) — وهي القيم القياسية لتوزيع ليفي(0,1).
الأسئلة الشائعة
لماذا يجب أن تكون c أكبر من 0؟ يحدد معامل المقياس مدى انتشار التوزيع؛ وأي قيمة غير موجبة لـ c تجعل الكثافة غير معرَّفة، ولهذا تشترط الحاسبة أن تكون \(c > 0\).
ماذا يحدث عندما تكون x أقل من mu؟ لا يوجد للتوزيع دعم (مجال) عند تلك القيم، لذا تكون \(f = 0\) والاحتمال التراكمي الأدنى \(P = 0\) والاحتمال التراكمي الأعلى \(Q = 1\).
لماذا لا يوجد متوسط ولا تباين؟ يتميز توزيع ليفي بذيل ثقيل للغاية بحيث يتباعد كل من متوسطه وتباينه إلى ما لا نهاية، ولذلك لا تُعرض أي عزوم إحصائية مختصرة منتهية.
