حاسبة توزيع كوشي

أدخل الحساب

النقطة المئينية x

معامل الموقع x0

Scale parameter γ (> 0)

صيغة رياضية

Show calculation steps (2)

1. Lower Cumulative Probability

   

   P(X <= x) for the Cauchy distribution

2. Upper Cumulative Probability

   

   P(X > x) = 1 - P(X <= x)

نتائج

الكثافة الاحتمالية

٠٫١٥٩١٥٥

f(x) لتوزيع كوشي

Lower cumulative P(X ≤ x)	٠٫٧٥
Upper cumulative P(X > x)	٠٫٢٥

ما هو توزيع كوشي؟

توزيع كوشي (المعروف أيضًا بتوزيع لورنتز أو كوشي-لورنتز) هو توزيع احتمالي متصل يُعرَّف بمعاملين اثنين: معامل الموقع \(x_0\)، وهو ذروة المنحنى ووسيطه الإحصائي، ومعامل القياس الموجب غاما، الذي يمثّل نصف العرض عند نصف الارتفاع الأقصى. ويشتهر هذا التوزيع بذيوله الثقيلة؛ فعلى عكس التوزيع الطبيعي، لا يملك توزيع كوشي متوسطًا ولا تباينًا معرَّفًا. أما التوزيع القياسي (المعياري) لكوشي فيستخدم \(x_0 = 0\) وغاما \(= 1\)، وهو مطابق لتوزيع ستيودنت t بدرجة حرية واحدة. هذه الحاسبة قائمة على الرياضيات البحتة وتنطبق بالطريقة نفسها في كل مكان.

تبلغ دالة كثافة كوشي ذروتها عند الموضع x0، ويحدد المعامل gamma نصف العرض عند نصف الارتفاع.

كيفية استخدام الحاسبة

أدخِل النقطة المئينية \(x\) التي تريد تقييم التوزيع عندها، ومعامل الموقع \(x_0\)، ومعامل القياس غاما (الذي يجب أن يكون أكبر من الصفر). تُرجع الحاسبة الكثافة الاحتمالية \(f(x)\)، والاحتمال التراكمي الأدنى \(P(X \le x)\)، والاحتمال التراكمي الأعلى \(P(X > x)\). وللحصول على توزيع كوشي القياسي اترك \(x_0 = 0\) وغاما \(= 1\).

شرح المعادلة

نُعرّف أولًا القيمة المعيارية \(z = (x - x_0) / \gamma\). والكثافة الاحتمالية هي $$f(x) = \frac{1}{\pi \cdot \gamma \cdot (1 + z^2)}$$ وهي تكافئ $$f(x) = \frac{\gamma}{\pi\left[\left(x - x_0\right)^2 + \gamma^2\right]}$$ أما دالة التوزيع التراكمي فهي $$F(x) = 0.5 + \frac{1}{\pi} \cdot \arctan(z)$$ وتعطي الاحتمال التراكمي الأدنى، بينما الاحتمال التراكمي الأعلى هو ببساطة \(1 - F(x)\). ولأن دالة arctan تُرجع قيمًا ضمن المجال \((-\pi/2, \pi/2)\)، فإن الاحتمال التراكمي يقع دائمًا بدقة بين 0 و1.

اعلان

التراكمي السفلي P(X≤x) هو المساحة اليسرى؛ والتراكمي العلوي P(X>x) هو المساحة اليمنى.

مثال محلول

لنأخذ \(x = 1\)، \(x_0 = 0\)، غاما \(= 1\). عندئذٍ \(z = 1\). تكون الكثافة $$f(x) = \frac{1}{\pi \cdot 2} = 0.159155$$ وبما أن \(\arctan(1) = 0.785398\)، فإن الاحتمال التراكمي الأدنى يساوي $$0.5 + \frac{1}{\pi} \cdot 0.785398 = 0.75$$ ويكون الاحتمال التراكمي الأعلى \(0.25\).

الأسئلة الشائعة

لماذا لا يُعرَض المتوسط والتباين؟ ذيول توزيع كوشي ثقيلة إلى درجة أن متوسطه وتباينه غير معرَّفين رياضيًا، ولذلك فإن عرضهما يكون بلا معنى.

كيف تبدو الذروة؟ عند \(x = x_0\) تبلغ الكثافة قيمتها القصوى \(\frac{1}{\pi \cdot \gamma}\)، ويتساوى كلا الاحتمالين التراكميين عند \(0.5\).

ماذا لو كانت غاما صفرًا أو سالبة؟ يجب أن يكون معامل القياس موجبًا تمامًا؛ فأي قيمة غير موجبة لغاما تجعل التوزيع غير معرَّف ويُرفَض إدخالها.