Что такое распределение Коши?
Распределение Коши (его также называют распределением Лоренца или Коши — Лоренца) — это непрерывное распределение вероятностей, которое задаётся двумя параметрами. Параметр сдвига \(x_0\) определяет положение пика и медианы кривой, а положительный параметр масштаба \(\gamma\) равен полуширине на половине высоты. Распределение знаменито своими «тяжёлыми хвостами»: в отличие от нормального распределения, у Коши не существует ни математического ожидания, ни дисперсии. Стандартное (каноническое) распределение Коши получается при \(x_0 = 0\) и \(\gamma = 1\) и совпадает с распределением Стьюдента с одной степенью свободы. Этот калькулятор основан на чистой математике и одинаково работает в любой стране.
Как пользоваться калькулятором
Введите точку \(x\), в которой нужно вычислить распределение, параметр сдвига \(x_0\) и параметр масштаба \(\gamma\) (он обязательно должен быть больше нуля). Калькулятор выдаст плотность вероятности \(f(x)\), нижнюю кумулятивную вероятность \(P(X \le x)\) и верхнюю кумулятивную вероятность \(P(X > x)\). Для стандартного распределения Коши оставьте \(x_0 = 0\) и \(\gamma = 1\).
Разбор формулы
Сначала вычисляется стандартизованное значение \(z = (x - x_0) / \gamma\). Плотность вероятности равна $$f(x) = \frac{1}{\pi \cdot \gamma \cdot (1 + z^2)},$$ что эквивалентно записи $$f(x) = \frac{\gamma}{\pi\left[\left(x - x_0\right)^2 + \gamma^2\right]}.$$ Функция распределения имеет вид $$F(x) = 0{,}5 + \frac{1}{\pi} \cdot \arctan(z)$$ и даёт нижнюю кумулятивную вероятность, а верхняя кумулятивная вероятность — это просто \(1 - F(x)\). Поскольку арктангенс принимает значения из интервала \((-\pi/2, \pi/2)\), кумулятивная вероятность всегда строго находится между 0 и 1.
Разбор на примере
Возьмём \(x = 1\), \(x_0 = 0\), \(\gamma = 1\). Тогда \(z = 1\). Плотность равна $$f(x) = \frac{1}{\pi \cdot 2} = 0{,}159155.$$ Поскольку \(\arctan(1) = 0{,}785398\), нижняя кумулятивная вероятность составит $$0{,}5 + \frac{1}{\pi} \cdot 0{,}785398 = 0{,}75,$$ а верхняя кумулятивная вероятность — \(0{,}25\).
Часто задаваемые вопросы
Почему не указаны среднее и дисперсия? У распределения Коши настолько тяжёлые хвосты, что его математическое ожидание и дисперсия математически не определены, поэтому приводить их не имеет смысла.
Как выглядит пик? В точке \(x = x_0\) плотность достигает своего максимума, равного \(\frac{1}{\pi \cdot \gamma}\), а обе кумулятивные вероятности равны \(0{,}5\).
Что будет, если \(\gamma\) равно нулю или отрицательно? Параметр масштаба должен быть строго положительным; при нулевом или отрицательном \(\gamma\) распределение не определено, и такое значение не принимается.
