¿Qué es la distribución de Cauchy?
La distribución de Cauchy (también conocida como distribución de Lorentz o de Cauchy-Lorentz) es una distribución de probabilidad continua que se define mediante dos parámetros: un parámetro de posición \(x_0\), que marca el pico y la mediana de la curva, y un parámetro de escala positivo \(\gamma\), que corresponde a la semianchura a media altura. Es célebre por sus colas pesadas: a diferencia de la distribución normal, la distribución de Cauchy no tiene media ni varianza definidas. La distribución de Cauchy estándar (o canónica) emplea \(x_0 = 0\) y \(\gamma = 1\), y coincide exactamente con una distribución t de Student con un grado de libertad. Esta calculadora es matemática pura, por lo que funciona igual en cualquier país.
Cómo usar esta calculadora
Introduce el punto \(x\) en el que quieres evaluar la distribución, el parámetro de posición \(x_0\) y el parámetro de escala \(\gamma\) (que debe ser mayor que cero). La calculadora devuelve la densidad de probabilidad \(f(x)\), la probabilidad acumulada inferior \(P(X \le x)\) y la probabilidad acumulada superior \(P(X > x)\). Para la distribución de Cauchy estándar, deja \(x_0 = 0\) y \(\gamma = 1\).
La fórmula explicada
Primero definimos el valor estandarizado \(z = (x - x_0) / \gamma\). La densidad de probabilidad es \(f(x) = 1 / (\pi \cdot \gamma \cdot (1 + z^2))\), que equivale a $$f(x) = \frac{\gamma}{\pi\left[\left(x - x_0\right)^2 + \gamma^2\right]}$$ La función de distribución acumulada es $$P(X \le x) = \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi}\arctan\!\left(\frac{x - x_0}{\gamma}\right)$$ que proporciona la probabilidad acumulada inferior; la probabilidad acumulada superior es simplemente \(1 - F(x)\): $$P(X > x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{\pi}\arctan\!\left(\frac{x - x_0}{\gamma}\right)$$ Como \(\arctan\) devuelve valores en \((-\pi/2, \pi/2)\), la probabilidad acumulada siempre queda estrictamente entre 0 y 1.
Ejemplo resuelto
Tomemos \(x = 1\), \(x_0 = 0\), \(\gamma = 1\). Entonces \(z = 1\). La densidad es $$f(x) = \frac{1}{\pi \cdot 2} = 0{,}159155$$ Como \(\arctan(1) = 0{,}785398\), la probabilidad acumulada inferior es $$0{,}5 + \frac{1}{\pi} \cdot 0{,}785398 = 0{,}75$$ y la probabilidad acumulada superior es \(0{,}25\).
Preguntas frecuentes
¿Por qué no se muestran la media y la varianza? La distribución de Cauchy tiene unas colas tan pesadas que su media y su varianza no están definidas matemáticamente, así que mostrarlas carecería de sentido.
¿Cómo es el pico de la curva? En \(x = x_0\) la densidad alcanza su valor máximo, \(1 / (\pi \cdot \gamma)\), y ambas probabilidades acumuladas valen \(0{,}5\).
¿Y si gamma es cero o negativo? El parámetro de escala debe ser estrictamente positivo; un valor de \(\gamma\) menor o igual que cero deja la distribución sin definir y, por tanto, se rechaza.
