Qué hace esta calculadora
Esta herramienta calcula el percentil (también llamado cuantil o punto porcentual) de una distribución de Cauchy, conocida igualmente como distribución de Lorentz. A partir de una probabilidad acumulada y de los dos parámetros de la distribución — la ubicación x0 (la mediana y la posición del pico) y la escala γ (gamma, la semianchura a media altura) — devuelve el valor x en el que se alcanza esa probabilidad. Es matemática pura y se aplica exactamente igual en cualquier lugar.
Cómo usarla
Primero elige el modo acumulado. Selecciona Inferior si tu probabilidad P es una probabilidad de cola izquierda, \(P = \operatorname{Prob}(X \le x)\). Selecciona Superior si tu probabilidad Q es una probabilidad de cola derecha, \(Q = \operatorname{Prob}(X \ge x)\). A continuación introduce la probabilidad como una fracción estrictamente comprendida entre 0 y 1 (por ejemplo 0,95 para el percentil 95), el parámetro de ubicación x0 y el parámetro de escala \(\gamma\) (que debe ser positivo). La calculadora te devuelve el valor x correspondiente.
La fórmula explicada
La función de distribución acumulada de la distribución de Cauchy es $$F(x) = \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi}\cdot\arctan\!\left(\frac{x - \text{x}_0}{\gamma}\right).$$ Al invertirla se obtiene la función cuantil $$x = \text{x}_0 + \gamma \cdot \tan\!\left(\pi\left(\text{p} - \tfrac{1}{2}\right)\right),$$ donde P es la probabilidad acumulada inferior. Si has introducido una probabilidad superior Q, la herramienta la convierte primero mediante \(P = 1 - Q\). En \(P = 0{,}5\) el resultado es exactamente x0; a medida que P se acerca a 0 o a 1 el resultado diverge hacia menos o más infinito, reflejando las célebres colas pesadas de la distribución de Cauchy (que carece de media y de varianza finitas).
Ejemplo resuelto
Para el percentil 95 inferior con x0 = 0 y \(\gamma = 1\): P = 0,95, de modo que $$x = 0 + 1\cdot\tan(\pi\cdot 0{,}45) = \tan(1{,}41372\ \text{rad}) \approx \mathbf{6{,}31375}.$$ Comprobación: \(F(6{,}31375) = 0{,}5 + \frac{1}{\pi}\cdot\arctan(6{,}31375) = 0{,}5 + 0{,}45 = 0{,}95\). Con x0 = 2, \(\gamma = 3\) y P = 0,75: $$x = 2 + 3\cdot\tan(\pi\cdot 0{,}25) = 2 + 3\cdot 1 = 5{,}0.$$
Preguntas frecuentes
¿Cuál es la diferencia entre el modo inferior y el superior? Son complementarios: una probabilidad superior de 0,05 da el mismo x que una probabilidad inferior de 0,95.
¿Por qué la probabilidad debe estar estrictamente entre 0 y 1? Justo en 0 o en 1 el cuantil es más o menos infinito, lo que no tiene un valor numérico finito.
¿Puede ser negativa la escala? No. La escala \(\gamma\) debe ser mayor que 0; representa una semianchura y un valor negativo carece de sentido.
