Qué hace esta calculadora
La distribución logística es una distribución de probabilidad continua con una forma parecida a la campana normal, pero con colas más pesadas. Se utiliza mucho en la regresión logística, el modelado de crecimiento y los análisis de fiabilidad. Esta herramienta resuelve el problema inverso: a partir de una probabilidad acumulada, devuelve el punto percentil x (también llamado cuantil), es decir, el valor en el que la función de distribución acumulada (CDF) logística alcanza esa probabilidad.
Cómo usarla
Elige si tu probabilidad corresponde a una cola inferior acumulada \(P(X \le x)\) o a una cola superior acumulada \(P(X > x)\). Introduce la probabilidad como un número estrictamente entre 0 y 1 y, a continuación, indica el parámetro de ubicación \(a\) (la media y la mediana) y el parámetro de escala \(b\), que debe ser mayor que 0. La calculadora te devuelve \(x\) junto con la probabilidad de cola inferior realmente empleada y su logit (log-odds).
La fórmula explicada
La CDF logística es $$F(x) = \frac{1}{1 + e^{-(x-a)/b}}.$$ Al despejar \(x\) se obtiene la función cuantil:
$$x = \text{a} + \text{b} \cdot \ln\!\left(\frac{\text{p}}{1 - \text{p}}\right)$$
Aquí \(p\) es la probabilidad de cola inferior. Si has introducido un valor de cola superior \(Q\), la calculadora lo convierte primero con \(p = 1 - Q\). El término \(\ln\!\left(\frac{p}{1-p}\right)\) es el logit, o log-odds, de la probabilidad. Cuando \(p = 0{,}5\) el logit vale 0, de modo que el cuantil coincide con la ubicación \(a\), lo que confirma que \(a\) es la mediana.
Ejemplo resuelto
Supongamos que probabilityType = inferior, probability = 0,9, a = 5 y b = 2. Entonces \(p / (1 - p) = 0{,}9 / 0{,}1 = 9\), y \(\ln(9) = 2{,}197224577\). Así pues, $$x = 5 + 2 \times 2{,}197224577 = 9{,}394449.$$ El percentil 90 de esta distribución logística es de aproximadamente 9,39.
Preguntas frecuentes
¿Qué ocurre con una probabilidad de 0,5? El cuantil es exactamente la ubicación \(a\), ya que la distribución logística es simétrica respecto a su media y su mediana.
¿Por qué la probabilidad debe estar estrictamente entre 0 y 1? A medida que la probabilidad se acerca a 0, el cuantil tiende a menos infinito, y a medida que se acerca a 1, tiende a más infinito, por lo que los extremos no tienen un valor finito.
¿Qué es el parámetro de escala b? Controla la dispersión de la distribución; cuanto mayor es \(b\), más se estira la curva. La desviación estándar es igual a \(b\pi/\sqrt{3}\).
