ロジスティック分布（パーセント点）計算 - 累積確率から分位点を求める

計算を入力してください

結果

パーセント点 x（分位点）

ロジスティック分布の逆累積分布関数（逆CDF）

使用した下側累積確率	0.5
ロジット（対数オッズ）	0

この計算ツールでできること

ロジスティック分布は、正規分布によく似たベル型をもちながら、裾（テール）がより厚い連続確率分布です。ロジスティック回帰や成長モデル、信頼性解析などで幅広く使われています。本ツールは、その逆問題を解くものです。すなわち、累積確率を与えると、ロジスティック分布の累積分布関数（CDF）がその確率に達するパーセント点x（分位点とも呼びます）を返します。

使い方

まず、入力する確率が下側累積確率 $P(X \le x)$ なのか、上側累積確率 $P(X > x)$ なのかを選びます。確率は0より大きく1より小さい値（0と1は含まない）で入力してください。続いて、位置パラメータa（平均かつ中央値）と、0より大きい尺度パラメータbを入力します。計算結果として、パーセント点xに加えて、実際に使用した下側累積確率と、そのロジット（対数オッズ）が表示されます。

計算式の解説

ロジスティック分布のCDFは $F(x) = 1 / (1 + e^{-(x-a)/b})$ です。これをxについて解くと、分位点関数は次のようになります。

$$x = \text{a} + \text{b} \cdot \ln\!\left(\frac{\text{p}}{1 - \text{p}}\right)$$

ここで p は下側累積確率です。上側累積確率Qを入力した場合は、計算ツールがまず $p = 1 - Q$ として変換します。$\ln(p / (1 - p))$ の項は、その確率のロジット（対数オッズ）を表します。$p = 0.5$ のときロジットは0となるため、分位点は位置パラメータaに一致し、aが中央値であることが確認できます。

S-shaped logistic cumulative distribution function showing mapping from probability p on the vertical axis to quantile x on the horizontal axis — The quantile function is the inverse of the S-shaped logistic CDF: read p up to the curve, then across to x.

Logistic distribution bell-shaped probability density curve with a shaded left-tail area and a vertical line marking the quantile x — The quantile x is the point where the shaded lower-tail area equals probability p.

計算例

確率タイプ＝下側、確率＝0.9、$a = 5$、$b = 2$ とします。このとき $p / (1 - p) = 0.9 / 0.1 = 9$ であり、$\ln(9) = 2.197224577$ です。したがって $$x = 5 + 2 \times 2.197224577 = 9.394449$$ となります。このロジスティック分布の90パーセント点は約9.39です。