ماذا تفعل هذه الحاسبة
التوزيع اللوجستي هو توزيع احتمالي متصل يشبه في شكله المنحنى الطبيعي، لكنه يتميّز بذيول أثقل. ويُستخدم على نطاق واسع في الانحدار اللوجستي، ونمذجة النمو، وتحليل الموثوقية. تحل هذه الأداة المسألة العكسية: فعندما تُعطيها احتمالًا تراكميًا، تُرجع لك نقطة المئين \(x\) (وتُسمى أيضًا الكميّة) التي تبلغ عندها دالة التوزيع التراكمي اللوجستي (CDF) ذلك الاحتمال.
طريقة الاستخدام
حدّد أولًا ما إذا كان الاحتمال لديك قيمة تراكمية دنيا \(P(X \le x)\) أم قيمة تراكمية عليا \(P(X > x)\). ثم أدخِل الاحتمال كرقم يقع حصرًا بين 0 و1، وحدّد معامل الموقع \(a\) (وهو المتوسط والوسيط)، ومعامل المقياس \(b\) الذي يجب أن يكون أكبر من 0. تُرجع لك الحاسبة قيمة \(x\) إلى جانب احتمال الذيل الأدنى المُستخدَم فعليًا، وقيمة اللوجيت الخاصة به (لوغاريتم الأرجحية).
شرح المعادلة
دالة التوزيع التراكمي اللوجستي هي \(F(x) = 1 / (1 + e^{-(x-a)/b})\). وعند حلّها لإيجاد \(x\) نحصل على دالة الكميّة:
$$x = \text{a} + \text{b} \cdot \ln\!\left(\frac{\text{p}}{1 - \text{p}}\right)$$
حيث \(p\) هو احتمال الذيل الأدنى. وإذا أدخلت قيمة الذيل الأعلى \(Q\)، تقوم الحاسبة أولًا بتحويلها عبر \(p = 1 - Q\). أما الحدّ \(\ln(p / (1 - p))\) فهو اللوجيت، أو لوغاريتم الأرجحية، الخاص بالاحتمال. وعندما يكون \(p = 0.5\) يصبح اللوجيت صفرًا، فتساوي الكميّة معامل الموقع \(a\)، مما يؤكّد أن \(a\) هو الوسيط.
مثال محلول
لنفترض أن probabilityType = lower، وprobability = 0.9، و\(a = 5\)، و\(b = 2\). عندئذٍ \(p / (1 - p) = 0.9 / 0.1 = 9\)، و\(\ln(9) = 2.197224577\). ومن ثم $$x = 5 + 2 \times 2.197224577 = 9.394449$$ أي أن المئين التسعين لهذا التوزيع اللوجستي يساوي نحو 9.39.
الأسئلة الشائعة
ماذا يحدث عند الاحتمال 0.5؟ تكون الكميّة مساوية تمامًا لمعامل الموقع \(a\)، لأن التوزيع اللوجستي متماثل حول متوسطه ووسيطه.
لماذا يجب أن يقع الاحتمال حصرًا بين 0 و1؟ لأنه كلما اقترب الاحتمال من 0 اتجهت الكميّة نحو سالب اللانهاية، وكلما اقترب من 1 اتجهت نحو موجب اللانهاية، فلا توجد قيمة منتهية عند الطرفين.
ما هو معامل المقياس \(b\)؟ هو الذي يتحكّم في انتشار التوزيع؛ فكلما كبرت قيمة \(b\) اتّسع المنحنى. ويساوي الانحراف المعياري \(b\pi/\sqrt{3}\).
