ما هي حاسبة مئين توزيع لابلاس؟
تحسب هذه الأداة المئين، أو الكميّة، لتوزيع لابلاس (المعروف أيضًا بالتوزيع الأسّي المزدوج). فعند إعطائها احتمالًا تراكميًا، تُرجع لك القيمة x التي يتحقق عندها ذلك الاحتمال. إنها أداة رياضية عالمية تعمل بالطريقة نفسها في كل مكان، دون أي افتراضات خاصة بدولة بعينها.
يتميّز توزيع لابلاس بمَعلَم الموقع a (وهو المتوسط والوسيط معًا) ومَعلَم القياس b (حيث \(b > 0\)). أما دالة الكثافة الاحتمالية فهي $$f(x) = \frac{1}{2b}\cdot\exp\!\left(-\frac{|x-a|}{b}\right)$$ ما يمنحه قمّة حادّة عند a وذيلين أسّيين متماثلين. ويساوي التباين \(2b^2\).
كيفية الاستخدام
أدخِل مَعلَم الموقع a، ومَعلَم القياس b (يجب أن يكون موجبًا)، ثم اختر ما إذا كان احتمالك هو احتمالًا تراكميًا أدنى \(P = \Pr(X \le x)\) أو احتمالًا تراكميًا أعلى \(Q = \Pr(X > x)\)، وأدخِل ذلك الاحتمال بقيمة محصورة تمامًا بين 0 و1. عندها تُرجع الحاسبة الكميّة x.
شرح الصيغة
دالة التوزيع التراكمي لتوزيع لابلاس هي \(P(x) = 0.5\cdot\exp\!\left(\frac{x-a}{b}\right)\) عندما \(x < a\)، و\(P(x) = 1 - 0.5\cdot\exp\!\left(-\frac{x-a}{b}\right)\) عندما \(x \ge a\). وبعكسها نحصل على دالة الكميّة:
$$x = \begin{cases} a + b\ln(2P), & P \le 0.5 \\[1em] a - b\ln\!\left(2(1-P)\right), & P > 0.5 \end{cases}$$وعند إدخالك احتمالًا أعلى Q، تضبط الأداة أولًا \(P = 1 - Q\) ثم تطبّق العكس نفسه. ولاحِظ أن \(P = 0.5\) يُرجع دائمًا \(x = a\)، لأن الوسيط يساوي مَعلَم الموقع.
مثال محلول
لنفترض أن \(a = 0\) و\(b = 1\) والاحتمال الأدنى \(P = 0.75\). وبما أن \(P > 0.5\) فإن $$x = 0 - 1\cdot\ln(2\cdot 0.25) = -\ln(0.5) = \ln(2) \approx 0.6931471806.$$ أي أن 75% من الكتلة الاحتمالية تقع عند \(x \approx 0.693\) أو دونها.
الأسئلة الشائعة
لماذا يجب أن يكون \(0 < p < 1\)؟ كلما اقترب p من الصفر تباعدت الكميّة نحو سالب اللانهاية، وكلما اقترب من الواحد تباعدت نحو موجب اللانهاية، ولذلك فإن الاحتمالات الداخلية الصارمة وحدها هي التي تعطي إجابة منتهية.
ماذا لو كان لديّ احتمال للذيل الأعلى؟ اختر "الاحتمال التراكمي الأعلى Q"، وستحوّله الأداة تلقائيًا عبر العلاقة \(P = 1 - Q\).
لماذا يجب أن يكون القياس موجبًا؟ يتحكّم مَعلَم القياس b في مدى الانتشار ويظهر داخل عملية قسمة عند التوحيد القياسي، لذا فإن \(b \le 0\) يجعل التوزيع منحلًّا ويُرفَض.
