लाप्लास वितरण पर्सेंटाइल (क्वांटाइल) कैलकुलेटर

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परिणाम

पर्सेंटाइल / क्वांटाइल x

a और b के समान इकाइयाँ

वितरण	लाप्लास (डबल-एक्सपोनेंशियल)
व्याख्या	Quantile x such that Pr(X <= x) = 0.5

लाप्लास वितरण पर्सेंटाइल कैलकुलेटर क्या है?

यह टूल लाप्लास वितरण (जिसे डबल-एक्सपोनेंशियल वितरण भी कहते हैं) का पर्सेंटाइल यानी क्वांटाइल निकालता है। किसी संचयी प्रायिकता (cumulative probability) के आधार पर यह वह मान x लौटाता है जहाँ वह प्रायिकता पूरी होती है। यह एक सार्वभौमिक गणितीय टूल है जो हर जगह एक जैसा काम करता है — इसमें किसी देश-विशेष की धारणा शामिल नहीं है।

लाप्लास वितरण में स्थान प्राचल (location parameter) a होता है (इसका माध्य और माध्यिका दोनों) और स्केल प्राचल (scale parameter) b होता है ($b > 0$)। इसका प्रायिकता घनत्व $f(x) = \frac{1}{2b}\cdot\exp\!\left(-\frac{|x-a|}{b}\right)$ है, जो a पर एक नुकीला शिखर और दोनों ओर सममित एक्सपोनेंशियल पुच्छ (tails) देता है। प्रसरण (variance) $2b^2$ के बराबर होता है।

Laplace distribution PDF curve with a shaded left tail area P up to a quantile x — The percentile x is the point where the cumulative area (probability P) under the Laplace density reaches the chosen level.

इसका उपयोग कैसे करें

स्थान प्राचल a दर्ज करें, स्केल प्राचल b दर्ज करें (यह धनात्मक होना चाहिए), फिर चुनें कि आपकी प्रायिकता निचली संचयी प्रायिकता $P = \Pr(X \le x)$ है या ऊपरी संचयी प्रायिकता $Q = \Pr(X > x)$, और वह प्रायिकता 0 और 1 के बिल्कुल बीच में दर्ज करें। कैलकुलेटर क्वांटाइल x लौटा देगा।

सूत्र की व्याख्या

लाप्लास का CDF इस प्रकार है: $x < a$ के लिए $P(x) = 0.5\cdot\exp\!\left(\frac{x-a}{b}\right)$, और $x \ge a$ के लिए $P(x) = 1 - 0.5\cdot\exp\!\left(-\frac{x-a}{b}\right)$। इसे उलटने पर क्वांटाइल फलन मिलता है:

$$x = \begin{cases} \text{a} + \text{b} \ln\!\left(2\,\text{P}\right), & \text{P} \le 0.5 \\[1em] \text{a} - \text{b} \ln\!\left(2(1-\text{P})\right), & \text{P} > 0.5 \end{cases}$$

जब आप ऊपरी प्रायिकता Q देते हैं, तो टूल पहले $P = 1 - Q$ निर्धारित करता है और फिर वही उलटाव लागू करता है। ध्यान दें कि $P = 0.5$ पर हमेशा $x = a$ मिलता है, क्योंकि माध्यिका स्थान प्राचल के बराबर होती है।

Laplace CDF S-shaped curve mapping probability P on the vertical axis to quantile x on the horizontal axis — Finding a percentile means inverting the Laplace CDF: pick P on the vertical axis and read across to the quantile x.

हल किया हुआ उदाहरण

मान लीजिए $a = 0$, $b = 1$, और निचली प्रायिकता $P = 0.75$। चूँकि $P > 0.5$, इसलिए $$x = 0 - 1\cdot\ln(2\cdot 0.25) = -\ln(0.5) = \ln(2) \approx 0.6931471806$$ यानी 75% प्रायिकता द्रव्यमान $x \approx 0.693$ पर या उससे नीचे है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

$0 < p < 1$ क्यों जरूरी है? जैसे-जैसे p शून्य की ओर बढ़ता है, क्वांटाइल ऋणात्मक अनंत की ओर चला जाता है, और जैसे-जैसे p एक की ओर बढ़ता है, यह धनात्मक अनंत की ओर चला जाता है। इसलिए केवल बिल्कुल भीतरी (interior) प्रायिकताएँ ही एक परिमित उत्तर देती हैं।

अगर मेरे पास ऊपरी-पुच्छ प्रायिकता हो तो? "ऊपरी संचयी प्रायिकता Q" चुनें; टूल इसे स्वतः $P = 1 - Q$ के जरिए बदल देता है।

स्केल धनात्मक क्यों होना चाहिए? स्केल b फैलाव को नियंत्रित करता है और मानकीकरण के दौरान एक भाग (division) में आता है, इसलिए $b \le 0$ होने पर वितरण अपभ्रष्ट (degenerate) हो जाएगा और इसे स्वीकार नहीं किया जाता।

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