ज्यामितीय माध्य क्या होता है?

ज्यामितीय माध्य एक खास तरह का औसत है, जिसमें किसी समूह की सभी संख्याओं को आपस में गुणा किया जाता है और फिर उस गुणनफल का nवाँ मूल लिया जाता है, जहाँ n यह बताता है कि कुल कितनी संख्याएँ हैं। आम तौर पर इस्तेमाल होने वाले समांतर माध्य (arithmetic mean) में जहाँ मानों को जोड़ा जाता है, वहीं ज्यामितीय माध्य गुणा पर टिका होता है। इसी वजह से यह उन चीज़ों के लिए सबसे उपयुक्त औसत है जो अनुपात या प्रतिशत के हिसाब से बढ़ती या घटती हैं — जैसे निवेश पर मिलने वाला रिटर्न, वृद्धि दर, अनुपात और सूचकांक (index numbers)।

दो मानों के लिए संख्या रेखा पर समांतर माध्य के मध्यबिंदु और गुणोत्तर माध्य की तुलना — गुणोत्तर माध्य, समांतर माध्य की तुलना में छोटे मान के अधिक करीब होता है।

इस कैलकुलेटर का इस्तेमाल कैसे करें

बॉक्स में अपनी संख्याएँ टाइप करें और उन्हें कॉमा या स्पेस से अलग करें (उदाहरण के लिए 2, 8, 32)। सभी मान धनात्मक होने चाहिए — अगर कोई संख्या शून्य या ऋणात्मक हो, तो ज्यामितीय माध्य परिभाषित ही नहीं होता। "कैलकुलेट" दबाते ही टूल आपको ज्यामितीय माध्य के साथ-साथ इस्तेमाल की गई संख्याओं की कुल गिनती भी दिखा देगा।

फ़ॉर्मूला समझें

ज्यामितीय माध्य को इस तरह परिभाषित किया जाता है:

$$\text{GM} = \left( \prod_{i=1}^{n} x_i \right)^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdots x_n}$$

बड़ी सूचियों के लिए गणना को संख्यात्मक रूप से स्थिर (numerically stable) रखने के लिए यह कैलकुलेटर लघुगणकीय (logarithmic) रूप का इस्तेमाल करता है: यह हर मान के प्राकृतिक लघुगणक (natural log) को जोड़ता है, उसे $n$ से भाग देता है और फिर घातांक (exponent) लेता है। गणित की दृष्टि से दोनों रूप बिल्कुल एक जैसे हैं।

दो संख्याओं का गुणोत्तर माध्य उस वर्ग की भुजा के रूप में दिखाया गया है जिसका क्षेत्रफल आयत के बराबर है — दो संख्याओं के लिए, गुणोत्तर माध्य उस वर्ग की भुजा है जिसका क्षेत्रफल a-गुणा-b आयत के बराबर हो।

हल किया हुआ उदाहरण

मान लीजिए आपके पास संख्याएँ 2, 8 और 32 हैं। इनका गुणनफल है $2 \times 8 \times 32 = 512$। चूँकि यहाँ 3 संख्याएँ हैं, इसलिए इसका घनमूल (cube root) लें: $$512^{\frac{1}{3}} = 8$$ यानी ज्यामितीय माध्य 8 है — ध्यान दीजिए कि यह गुणन के लिहाज़ से ठीक "बीच" में बैठता है ($2 \times 4 = 8$, और $8 \times 4 = 32$)।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

समांतर माध्य के बजाय ज्यामितीय माध्य कब इस्तेमाल करना चाहिए? इसका उपयोग रिटर्न दरों, प्रतिशत बदलावों और ऐसे अनुपातों के लिए करें जो समय के साथ चक्रवृद्धि (compound) होते हैं — यानी जहाँ जोड़ने से ज़्यादा गुणा करना मायने रखता है।

क्या मैं शून्य या ऋणात्मक संख्याएँ शामिल कर सकता हूँ? नहीं। गुणनफल शून्य हो जाएगा या मूल परिभाषित नहीं होगा, इसलिए ज्यामितीय माध्य केवल धनात्मक मानों पर ही लागू होता है।

क्या ज्यामितीय माध्य हमेशा समांतर माध्य से छोटा होता है? हाँ — धनात्मक संख्याओं के किसी भी ऐसे समूह के लिए जिसमें सभी मान बराबर न हों, ज्यामितीय माध्य हमेशा समांतर माध्य से सख़्ती से कम होता है (यही AM–GM असमानता है)।

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