यह कैलकुलेटर क्या करता है

यह टूल गणितीय स्थिरांक पाई (π) को अंकगणितीय-ज्यामितीय माध्य (AGM) पुनरावृत्ति विधियों से निकालता है। AGM-आधारित विधियाँ पारंपरिक श्रेणी (series) की तुलना में कहीं तेज़ी से अभिसरित होती हैं: द्विघातीय गॉस-लीजेंड्र विधि के हर चरण में सही अंकों की संख्या लगभग दोगुनी हो जाती है, बोर्विन की चतुर्घातीय विधि में चार गुना, और नवघातीय (nonic) रूप में नौ गुना। ये मानक प्रकाशित संख्यात्मक एल्गोरिथ्म हैं जो दुनिया भर में एक जैसे काम करते हैं — यह शुद्ध गणित है, इसमें न कोई इकाई है और न ही किसी देश के नियम लागू होते हैं।

इसका उपयोग कैसे करें

एक गणना सूत्र चुनें (द्विघातीय गॉस-लीजेंड्र डिफ़ॉल्ट है और अधिकांश उद्देश्यों के लिए पर्याप्त है), अपनी इच्छित अंकों की संख्या चुनें, और चाहें तो अधिकतम पुनरावृत्तियाँ की सीमा तय करें (100 काफ़ी ज़्यादा है — लगभग 6 पुनरावृत्तियों में ही 50 अंक तक पहुँच जाते हैं)। कैलकुलेटर तब तक पुनरावृत्ति करता है जब तक कार्यशील परिशुद्धता पर अनुमान बदलना बंद न कर दे, फिर पाई का मान, उपयोग की गई पुनरावृत्तियों की संख्या, और अंतिम चरण में आए बदलाव का आकार बताता है।

सूत्र की व्याख्या

गॉस-लीजेंड्र (सलामिन-ब्रेंट, 1976) विधि की शुरुआत इन मानों से होती है: $a_0 = 1$, $b_0 = 1/\sqrt{2}$, $t_0 = 1/4$, $p_0 = 1$। हर पुनरावृत्ति में नया अंकगणितीय माध्य $a$ निकाला जाता है, ज्यामितीय माध्य $b = \sqrt{a \cdot b}$ तय किया जाता है, $t$ में से $p \cdot (a - a_{new})^2$ घटाकर उसे अद्यतन किया जाता है, और $p$ को दोगुना कर दिया जाता है। वर्तमान अनुमान होता है $$\pi = \frac{(a + b)^2}{4t}.$$ चूँकि अंकगणितीय और ज्यामितीय माध्य एक उभयनिष्ठ AGM मान की ओर द्विघातीय रूप से अभिसरित होते हैं, इसलिए हर चरण में त्रुटि का वर्ग बन जाता है (यानी वह बहुत तेज़ी से घटती है)।

द्विघातीय, चतुर्घातीय और नवघातीय अभिसरण गति की तुलना करते त्रुटि घटाते तीन वक्र — उच्च-क्रम वाली AGM योजनाएँ हर पुनरावृत्ति में सही अंकों की संख्या को गुणित कर देती हैं।

AGM पुनरावृत्ति के ज़रिए एक समान मान की ओर अभिसरित होते दो अनुक्रम a और b — समांतर और गुणोत्तर माध्य तेज़ी से एक समान सीमा, यानी AGM, पर अभिसरित होते हैं।

हल किया हुआ उदाहरण

ऊपर दिए गए मानों से द्विघातीय विधि शुरू करें: पुनरावृत्ति 1 लगभग $3.140579$ देती है (3 सही अंक), पुनरावृत्ति 2 देती है $3.14159264$ (8 अंक), और पुनरावृत्ति 3 देती है $3.141592653589793$ — यानी IEEE डबल अंकगणित में उपलब्ध पूरी परिशुद्धता। चौथे चरण में कोई बदलाव नहीं आता, इसलिए लूप 3 पुनरावृत्तियों के बाद रुक जाता है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

मान लगभग 15 अंकों पर ही सीमित क्यों है? यह संस्करण IEEE डबल-परिशुद्धता फ़्लोटिंग पॉइंट का उपयोग करता है, जो लगभग 15-16 सार्थक अंक ही रख पाता है। ड्रॉपडाउन में दिए गए ज़्यादा अंक यह दर्शाते हैं कि अंतर्निहित AGM विधि मनमानी-परिशुद्धता (arbitrary-precision) अंकगणित के साथ कितनी परिशुद्धता तक पहुँचने में सक्षम है।

क्या तीनों विधियाँ अलग-अलग उत्तर देती हैं? नहीं — ये सभी पाई के एक ही मान पर अभिसरित होती हैं। फ़र्क सिर्फ़ इतना है कि वे कितनी तेज़ी से वहाँ पहुँचती हैं (कितनी पुनरावृत्तियाँ लगती हैं)।

"अंतिम चरण का बदलाव" क्या है? यह आख़िरी दो अनुमानों के बीच के अंतर का परिमाण है — यह जल्दी से बताता है कि पुनरावृत्ति कितनी मज़बूती से अभिसरित हो चुकी है।

उपयोग की गई पुनरावृत्तियाँ	4
अंतिम चरण का बदलाव (डेल्टा)	0E0
प्रदर्शित सार्थक अंक	15 (double-precision cap)

अंकगणितीय-ज्यामितीय माध्य (AGM) से पाई की गणना

गणना दर्ज करें

सूत्र (फॉर्मूला)

Borwein quartic iteration

परिणाम

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हल किया हुआ उदाहरण

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