Что делает этот калькулятор
Этот инструмент вычисляет математическую константу Пи с помощью итерационных схем на основе арифметико-геометрического среднего (AGM). Методы AGM сходятся несравнимо быстрее классических рядов: каждый шаг квадратичного метода Гаусса — Лежандра примерно удваивает число верных цифр, квартичный метод Борвейна — учетверяет, а метод девятого порядка увеличивает их в девять раз. Это стандартные опубликованные численные алгоритмы, которые работают одинаково в любой точке мира: чистая математика без единиц измерения и без привязки к какой-либо стране.
Как пользоваться
Выберите формулу расчёта (по умолчанию используется квадратичный метод Гаусса — Лежандра — его достаточно для большинства задач), задайте нужное количество цифр и при желании установите ограничение на максимальное число итераций (100 — с большим запасом: уже около 6 итераций дают 50 цифр). Калькулятор повторяет итерации до тех пор, пока оценка перестаёт меняться при текущей точности вычислений, после чего показывает значение Пи, число использованных итераций и величину последнего шага изменения.
Разбор формулы
Схема Гаусса — Лежандра (Саламин — Брент, 1976) задаёт начальные значения \(a_0 = 1\), \(b_0 = 1/\sqrt{2}\), \(t_0 = 1/4\), \(p_0 = 1\). На каждой итерации вычисляется новое арифметическое среднее \(a\), геометрическое среднее \(b = \sqrt{a\cdot b}\), значение \(t\) уменьшается на \(p\cdot(a - a_{\text{new}})^2\), а \(p\) удваивается. Текущая оценка равна $$\pi = \frac{(a + b)^2}{4t}.$$ Поскольку арифметическое и геометрическое средние квадратично сходятся к общему значению AGM, погрешность возводится в квадрат на каждом шаге.
Пример расчёта
Начиная с приведённых выше значений и используя квадратичный метод: первая итерация даёт около \(3{,}140579\) (3 верные цифры), вторая — \(3{,}14159264\) (8 цифр), а третья — \(3{,}141592653589793\), то есть полную точность, доступную в арифметике IEEE с двойной точностью. Четвёртый шаг уже ничего не меняет, поэтому цикл останавливается после 3 итераций.
Частые вопросы
Почему значение ограничено примерно 15 цифрами? Эта реализация использует числа с плавающей запятой двойной точности IEEE, которые дают около 15–16 значащих цифр. Большее число цифр в выпадающем списке указывает на ту целевую точность, которой соответствующая схема AGM способна достичь при вычислениях с произвольной точностью.
Дают ли три метода разные ответы? Нет — все они сходятся к одному и тому же значению Пи. Различаются они только скоростью: тем, сколько итераций требуется для достижения результата.
Что такое последнее изменение шага? Это модуль разности между двумя последними оценками — быстрый показатель того, насколько тесно сошёлся итерационный процесс.
