Công cụ này làm gì
Công cụ này tính hằng số toán học pi bằng các thuật toán lặp dựa trên trung bình cộng - nhân (AGM). So với các chuỗi cổ điển, những phương pháp dựa trên AGM hội tụ nhanh hơn rất nhiều: mỗi bước của phương pháp Gauss-Legendre bậc hai gần như tăng gấp đôi số chữ số đúng, phương pháp Borwein bậc bốn nhân chúng lên bốn lần, còn biến thể bậc chín nhân lên chín lần. Đây đều là những thuật toán số học chuẩn đã được công bố và cho kết quả y hệt ở mọi nơi - thuần túy toán học, không có đơn vị và không phụ thuộc vào quốc gia nào.
Cách sử dụng
Hãy chọn một Công thức tính (Gauss-Legendre bậc hai là mặc định và đủ dùng cho hầu hết trường hợp), chọn Số chữ số bạn muốn, và nếu cần có thể đặt giới hạn Số vòng lặp tối đa (đặt 100 là quá thoải mái - chỉ khoảng 6 vòng lặp đã đạt tới 50 chữ số). Công cụ sẽ lặp cho đến khi giá trị ước lượng không còn thay đổi ở độ chính xác làm việc, rồi báo cáo giá trị của pi, số vòng lặp đã dùng và độ lớn của thay đổi ở bước cuối cùng.
Giải thích công thức
Thuật toán Gauss-Legendre (Salamin-Brent, 1976) khởi tạo \(a_0 = 1\), \(b_0 = 1/\sqrt{2}\), \(t_0 = 1/4\), \(p_0 = 1\). Mỗi vòng lặp tính trung bình cộng mới \(a\), trung bình nhân \(b = \sqrt{a \cdot b}\), cập nhật \(t\) bằng cách trừ đi \(p \cdot (a - a_{\text{mới}})^2\), và nhân đôi \(p\). Giá trị ước lượng hiện tại là
$$\pi \approx \frac{(a + b)^2}{4 t}$$Vì trung bình cộng và trung bình nhân hội tụ theo bậc hai về một giá trị AGM chung, sai số được bình phương sau mỗi bước.
Ví dụ minh họa
Bắt đầu từ các giá trị nêu trên với phương pháp bậc hai: vòng lặp 1 cho khoảng \(3.140579\) (đúng 3 chữ số), vòng lặp 2 cho \(3.14159264\) (8 chữ số), và vòng lặp 3 cho \(3.141592653589793\) - chính là độ chính xác đầy đủ trong số học dấu phẩy động double theo chuẩn IEEE. Bước thứ tư không tạo ra thay đổi nào, nên vòng lặp dừng lại sau 3 lần.
Câu hỏi thường gặp
Vì sao giá trị bị giới hạn ở khoảng 15 chữ số? Phiên bản này dùng dấu phẩy động độ chính xác kép (double) theo chuẩn IEEE, vốn chỉ giữ được khoảng 15-16 chữ số có nghĩa. Những lựa chọn số chữ số lớn hơn trong danh sách thể hiện độ chính xác đích mà thuật toán AGM bên dưới có thể đạt được nếu dùng số học với độ chính xác tùy ý.
Ba phương pháp có cho kết quả khác nhau không? Không - tất cả đều hội tụ về cùng một giá trị pi. Chúng chỉ khác nhau ở tốc độ đạt tới đó (số vòng lặp cần thiết).
Thay đổi ở bước cuối là gì? Đó là độ lớn của hiệu số giữa hai ước lượng cuối cùng, một cách nhanh chóng để đánh giá phép lặp đã hội tụ chặt chẽ đến mức nào.
