這個計算器能做什麼
本工具運用算術-幾何平均（AGM）迭代法來計算數學常數圓周率 π。相較於傳統級數展開，AGM 演算法的收斂速度快得驚人：二次高斯-勒讓德法每迭代一次，正確位數大約翻倍；Borwein 四次法則是每次變為四倍；而九次（nonic）版本更可一口氣放大九倍。這些都是已發表的標準數值演算法，在世界任何地方執行結果都完全一致——純粹的數學運算，沒有單位、也不受任何國家或地區的規範影響。
如何使用
先選擇一種「計算公式」（預設的二次高斯-勒讓德法已足以應付絕大多數需求），接著指定想要的「位數」，並可視需要設定「最大迭代次數」上限（設 100 已綽綽有餘——大約只要 6 次迭代就能達到 50 位數）。計算器會持續迭代，直到在工作精度下估計值不再變化為止，然後回報 π 的數值、實際使用的迭代次數，以及最後一步的變化幅度。
公式詳解
高斯-勒讓德（Salamin-Brent，1976 年）演算法的初始值設定為 \(a_0 = 1\)、\(b_0 = 1/\sqrt{2}\)、\(t_0 = 1/4\)、\(p_0 = 1\)。每次迭代會先計算新的算術平均 \(a\)，再求幾何平均 \(b = \sqrt{a\cdot b}\)，接著以 \(t\) 減去 \(p\cdot(a - a_{\text{new}})^2\) 來更新 \(t\)，最後將 \(p\) 加倍。當前估計值為 $$\pi = \frac{(a + b)^2}{4t}.$$由於算術平均與幾何平均會以二次收斂的速度趨近共同的 AGM 值，誤差每一步都會被平方縮小。
實際範例
以上述初始值搭配二次法計算：第 1 次迭代得到約 \(3.140579\)（3 位正確）；第 2 次迭代得到 \(3.14159264\)（8 位正確）；第 3 次迭代則得到 \(3.141592653589793\)——已達到 IEEE 雙精度浮點數所能提供的完整精度。第 4 次迭代不再產生任何變化，因此迴圈在 3 次迭代後即停止。
常見問題
為什麼數值最多只到約 15 位數？本次重建版本採用 IEEE 雙精度浮點數，大約只能保留 15 至 16 位有效數字。下拉選單中更高的位數選項，代表底層 AGM 演算法在搭配任意精度運算時所能達到的目標精度。
三種方法會得到不同的答案嗎？不會——它們最終都會收斂到相同的 π 值，差別只在於抵達該值的速度（所需迭代次數）不同。
「最後一步變化」是什麼意思？它是最後兩次估計值之間差距的絕對大小，可用來快速判斷迭代收斂得有多緊密。
