산술-기하 평균(AGM)을 이용한 원주율(π) 계산

계산 입력

계산 알고리즘 2차 (가우스-르장드르 / 살라민-브렌트, 1976) 4차 (보웨인, 1985) 9차 (9차 수렴)

자릿수 6 10 14 18 22 26 30 34 38 42 46 50

최대 반복 횟수

공식

Show calculation steps (1)

1. Borwein quartic iteration

   

   Start y0=sqrt(2)-1, a0=6-4 sqrt(2). Quadruples correct digits per iteration; pi = 1/a_n.

결과

계산된 π 값

3.141592653589794

단위 없는 순수 상수

사용한 반복 횟수	4
마지막 단계 변화량 (델타)	0E0
표시된 유효 숫자	15 (double-precision cap)

이 계산기는 무엇을 하나요

이 도구는 산술-기하 평균(AGM) 반복법을 사용해 수학 상수 π(원주율)를 계산합니다. AGM 기반 알고리즘은 고전적인 급수 전개보다 수렴 속도가 압도적으로 빠릅니다. 2차 가우스-르장드르 방식은 한 단계마다 정확한 자릿수가 약 두 배로 늘어나고, 4차 보웨인 방식은 네 배, 9차 방식은 아홉 배씩 늘어납니다. 모두 학계에 정식으로 발표된 표준 수치 알고리즘이며 어디서나 동일하게 작동합니다. 단위도 없고 특정 국가의 규칙에도 얽매이지 않는 순수 수학입니다.

사용 방법

먼저 계산 알고리즘을 선택하세요(기본값인 2차 가우스-르장드르만으로도 대부분의 용도에 충분합니다). 원하는 자릿수를 정하고, 필요하면 최대 반복 횟수 상한을 설정합니다(100이면 차고 넘칩니다. 약 6번만 반복해도 50자리에 도달합니다). 계산기는 현재 정밀도에서 추정값이 더 이상 변하지 않을 때까지 반복한 뒤, π의 값과 사용한 반복 횟수, 마지막 단계에서의 변화량을 함께 보여줍니다.

공식 설명

가우스-르장드르(살라민-브렌트, 1976) 방식은 \(a_0 = 1\), \(b_0 = 1/\sqrt{2}\), \(t_0 = 1/4\), \(p_0 = 1\) 로 초기화합니다. 각 반복마다 새로운 산술 평균 a를 구하고, 기하 평균 \(b = \sqrt{a \cdot b}\)를 계산하며, t에서 \(p \cdot (a - a_{\text{new}})^2\)를 빼서 갱신하고, p를 두 배로 늘립니다. 현재 추정값은 다음과 같이 주어집니다.

$$\pi = \frac{(a + b)^2}{4t}$$

산술 평균과 기하 평균이 공통의 AGM 값으로 2차 수렴하기 때문에, 오차가 매 단계마다 제곱으로 줄어듭니다.

고차 AGM 기법은 반복마다 정확한 자릿수를 배가시킨다.

산술 평균과 기하 평균은 공통의 극한값, 즉 AGM으로 빠르게 수렴한다.

계산 예시

위 초기값에서 2차 방식으로 시작하면, 1회 반복에서 약 \(3.140579\)(정확한 자리 3개), 2회 반복에서 \(3.14159264\)(8자리), 3회 반복에서 \(3.141592653589793\), 즉 IEEE 배정밀도 연산으로 표현 가능한 최대 정밀도에 도달합니다. 4회째에는 값이 변하지 않으므로 반복은 3회 만에 멈춥니다.

자주 묻는 질문

왜 값이 약 15자리에서 멈추나요? 이 버전은 IEEE 배정밀도 부동소수점을 사용하는데, 유효 숫자가 약 15~16자리까지만 표현됩니다. 드롭다운에 표시되는 더 큰 자릿수는 임의 정밀도 연산을 사용할 경우 해당 AGM 알고리즘이 도달할 수 있는 목표 정밀도를 의미합니다.

세 가지 방식이 서로 다른 답을 주나요? 아닙니다. 세 방식 모두 똑같은 π 값으로 수렴합니다. 다만 거기에 도달하는 속도(필요한 반복 횟수)만 다를 뿐입니다.

마지막 단계 변화량이 무엇인가요? 마지막 두 추정값의 차이의 크기로, 반복이 얼마나 촘촘하게 수렴했는지를 빠르게 가늠하는 지표입니다.