이 계산기는 무엇을 하나요?
숫자 목록을 입력하면 수학과 통계에서 흔히 쓰이는 세 가지 '평균'을 계산해 줍니다. 바로 산술평균, 기하평균, 조화평균입니다. 여기에 더해 중앙값, 최솟값, 최댓값도 함께 알려 드립니다. 계산은 순수한 수학 연산이라 단위가 없으며, 어디서나 동일하게 적용되어 단위 변환이 필요 없습니다.
사용 방법
입력란에 데이터를 쉼표, 공백, 또는 줄 바꿈으로 구분해 입력하거나 붙여넣으세요. 예를 들어 4, 8, 16처럼 입력하거나 한 줄에 한 값씩 적어도 됩니다. 빈 칸이나 숫자가 아닌 항목은 무시되며, \(n\)은 유효한 숫자의 개수입니다. 표시할 유효 자릿수도 선택할 수 있는데, 이는 결과를 반올림해 보여 주는 방식에만 영향을 줄 뿐 실제 계산 자체에는 영향을 주지 않습니다.
공식 알아보기
산술평균은 모든 값을 더한 뒤 \(n\)으로 나눕니다. 기하평균은 모든 값을 곱한 뒤 \(n\)제곱근을 취하는데, 실제 계산은 \(\exp(\text{자연로그 값들의 평균})\)으로 수치적으로 처리하며 모든 값이 양수일 때만 유효합니다. 조화평균은 \(n\)을 역수들의 합으로 나눈 값으로, 모든 값이 0이 아니어야 합니다. 중앙값은 값들을 정렬한 뒤 가운데 값을 취하며(n이 짝수일 때는 가운데 두 값의 평균) 구합니다.
$$\begin{gathered} A = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i, \qquad G = \sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n} x_i}, \qquad H = \frac{n}{\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{x_i}} \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} x_i &= \text{Data values} \\ n &= \text{count of values} \end{aligned} \right. \end{gathered}$$
예제로 풀어 보기
데이터 1, 2, 3, 4, 5 (\(n = 5\))를 예로 들어 보겠습니다. 산술평균 \(= 15/5 = 3\); 기하평균 \(= 120^{1/5} \approx 2.605171085\); 조화평균 \(= 5 / (1 + 0.5 + 0.333\ldots + 0.25 + 0.2) \approx 2.189781022\); 중앙값 \(= 3\); 최솟값 \(= 1\); 최댓값 \(= 5\)입니다. 여기서 \(2.1898 \le 2.6052 \le 3\)이 성립하는데, 이는 산술·기하·조화 평균의 부등식(AM-GM-HM 부등식)을 잘 보여 줍니다.
평균이 다를 때: 시나리오 비교
세 가지 고전적 평균은 데이터셋의 모든 값이 동일할 때만 일치합니다. 값이 퍼지는 순간, 산술평균(AM)이 가장 높고, 조화평균(HM)이 가장 낮으며, 기하평균(GM)이 그 사이에 위치합니다. 퍼짐이 클수록 간격이 더 커집니다. 아래 표는 각 평균을 소수점 이하 4자리로 계산한 여러 현실적인 데이터셋을 보여줍니다.
| 데이터셋 | 특성 | 산술(A) | 기하(G) | 조화(H) | A − H 간격 |
|---|---|---|---|---|---|
| 5, 5, 5, 5 | 모두 같음 | 5.0000 | 5.0000 | 5.0000 | 0.0000 |
| 2, 4, 6, 8 | 균등 간격 | 5.0000 | 4.4267 | 3.8400 | 1.1600 |
| 1.05, 1.10, 1.20 | 성장 인자 | 1.1167 | 1.1146 | 1.1125 | 0.0042 |
| 1, 10, 100 | 매우 비대칭 | 37.0000 | 10.0000 | 2.7027 | 34.2973 |
| 40, 60 | 두 가지 속도(km/h) | 50.0000 | 48.9898 | 48.0000 | 2.0000 |
값이 모두 같은 행을 보세요: 세 평균이 모두 정확히 5이고 간격은 0입니다. "1, 10, 100" 행은 반대 극단입니다 — 값이 2자리수 범위에 걸쳐 있으므로 산술평균(37)은 가장 큰 값에 의해 지배되고 조화평균(≈2.70)은 가장 작은 값으로 향합니다. 기하평균(정확히 10)은 곱셈 척도의 중심에 위치합니다.
올바른 평균 선택하기
각 평균은 다른 질문에 답하며, 잘못된 평균을 사용하면 오도하는 "평균"을 만들 수 있습니다. 선택은 기본 수량이 어떻게 결합되는지에 따라 달라집니다.
- 산술평균(A) — 합계가 의미 있는 덧셈 수량에 사용: 시험점수, 신장, 온도, 일일 횟수, 또는 금액. 이는 \(n\)번 반복되었을 때 데이터와 같은 합을 주는 값입니다.
- 기하평균(G) — 곱셈 수량, 비율, 복합 성장에 사용: 투자 수익, 인구 또는 수익 성장률, 지수, 그리고 시간에 따른 백분율 변화로 측정된 모든 것. 성장 인자(예: 1.05, 1.10, 1.20)를 기하평균으로 평균하면 동일한 누적 결과를 재현하는 상수율을 제공합니다 — 연복리 성장률 뒤의 동일한 논리입니다.
- 조화평균(H) — 고정된 수량에 상대적으로 정의된 비율을 평균할 때 사용: 동일 거리에서 평균 속도, 포트폴리오 전체의 주가수익비(P/E), 또는 연료 효율. 한 구간을 시속 40 km로 운전하고 동일한 구간을 시속 60 km로 운전하면, 평균 속도는 산술 50 km/h가 아니라 조화평균인 시속 48 km입니다.
양수 목록의 경우, 평균은 항상 다음 부등식을 만족합니다. $$A \ge G \ge H,$$ 등호는 모든 값이 동일할 때만 성립합니다. 데이터의 분산이 클수록 이 간격도 더 커집니다 — 이것이 기하평균이 복합 수익률을 위한 보수적 선택이고 조화평균이 느린 비율에 더 큰 가중치를 주어야 할 때의 올바른(가장 낮은) 선택인 이유입니다.
이것은 통계 평균에 대한 일반적인 교육 정보이며, 전문 금융 조언이 아닙니다. 이 수치가 투자 또는 사업 결정을 주도할 때는 적격 전문가와 상담하십시오.
자주 묻는 질문
기하평균이 왜 N/A로 표시되나요? 곱의 실수 \(n\)제곱근은 값 중 하나라도 음수이면 정의되지 않습니다. 그래서 음수가 입력되면 도구가 이를 표시합니다. 또한 값 중 0이 하나라도 있으면 곱(따라서 기하평균)이 0이 됩니다.
0이 있으면 왜 조화평균을 구할 수 없나요? 조화평균은 역수들의 합으로 나누는데, \(1/0\)은 무한대이기 때문입니다. 따라서 값 중 0이 하나라도 있으면 조화평균은 정의되지 않습니다.
어떤 평균을 써야 하나요? 더해서 의미가 있는 양에는 산술평균을, 성장률이나 비율에는 기하평균을, 속도처럼 비율을 평균 낼 때는 조화평균을 사용하세요.
