산술-기하 평균이란?
산술-기하 평균은 AGM(a, b)으로 표기하며, 가우스가 연구한 것으로 유명한 수학적 구성입니다. 두 음이 아닌 수 a와 b에서 출발해, 이 두 값을 각각의 산술평균과 기하평균으로 계속 바꿔 나갑니다. 그러면 두 수열이 하나의 공통값으로 점점 수렴하는데, 바로 이 공통 극한값이 AGM입니다. 이것은 순수 수학 개념이라 어디서나 똑같이 적용되며, 입력값은 단위가 없는 무차원 수입니다.
계산기 사용법
a와 b 값을 입력하세요(둘 다 0 또는 양수여야 합니다). 최대 반복 횟수 n은 반복 계산의 상한을 정합니다. 배정밀도(double) 수렴은 보통 5~6단계면 끝나므로 기본값 100은 필요한 것보다 훨씬 넉넉합니다. 계산기는 AGM(a, b) 값과 함께, 두 수열이 계산 정밀도에서 일치할 때까지 실제로 수행된 반복 횟수를 알려 줍니다.
공식 설명
\(a_0 = a\), \(b_0 = b\)로 둡니다. 그런 다음 다음을 반복합니다.
$$a_{k+1} = \frac{a_k + b_k}{2} \quad \text{(산술평균)}, \qquad b_{k+1} = \sqrt{a_k \cdot b_k} \quad \text{(기하평균)}.$$
산술평균은 항상 기하평균보다 크거나 같으므로, a 항은 점점 줄어들고 b 항은 점점 늘어나면서 극한값을 그 사이에 가둡니다. 수렴은 2차(quadratic)로, 정확한 자릿수가 매 단계마다 대략 두 배로 늘어납니다.
풀이 예제: AGM(24, 6)
\(a_0 = 24\), \(b_0 = 6\). 1단계: $$a_1 = \frac{24 + 6}{2} = 15, \qquad b_1 = \sqrt{24 \cdot 6} = \sqrt{144} = 12.$$ 2단계: \(a_2 = 13.5\), \(b_2 = \sqrt{180} \approx 13.41640786\). 3단계: \(a_3 \approx 13.45820393\), \(b_3 \approx 13.45820352\). 여기서 한두 단계만 더 진행하면 두 값 모두 \(\text{AGM}(24, 6) \approx 13.45820372613015\)로 안정됩니다.
자주 묻는 질문
a와 b가 같으면 어떻게 되나요? 두 수열이 상수가 되므로 \(\text{AGM}(a, a) = a\)로 곧바로 결정됩니다. 예를 들어 \(\text{AGM}(5, 5) = 5\)입니다.
값 중 하나가 0이면 어떻게 되나요? 기하평균이 \(\sqrt{0} = 0\)이 되어 계속 0에 머무르므로, \(\text{AGM}(a, 0) = \text{AGM}(0, b) = 0\)입니다.
음수도 사용할 수 있나요? 사용할 수 없습니다. 곱이 음수가 되면 실수 범위에서 제곱근이 정의되지 않으므로, 이 도구는 \(a \ge 0\), \(b \ge 0\)을 요구합니다.
