算術幾何平均とは
算術幾何平均（AGM(a, b) と表記）は、ガウスが研究したことで知られる有名な数学的構成です。2つの非負の数 a と b から出発し、その組を「算術平均」と「幾何平均」の組へと繰り返し置き換えていきます。すると、2つの数列はどちらも1つの共通の値へと挟み込まれるように近づいていき、この共通の極限値こそが算術幾何平均（AGM）です。これは純粋数学の概念であり、世界中どこでも同じように成り立ちます。入力する値は単位を持たない無次元の数です。
この計算ツールの使い方
a の値と b の値を入力します（どちらも 0 以上である必要があります）。最大反復回数 n は計算を繰り返す回数の上限を指定するものです。倍精度での収束はたいてい 5〜6 回ほどで起こるため、初期値の 100 は必要十分すぎる大きさです。計算結果として AGM(a, b) の値と、2つの数列が計算精度の範囲内で一致するまでに実際に行われた反復回数が表示されます。
計算式の解説
\(a_0 = a\)、\(b_0 = b\) と置きます。これに対して次の反復を行います。
$$a_{k+1} = \frac{a_k + b_k}{2} \quad (\text{算術平均}), \qquad b_{k+1} = \sqrt{a_k \cdot b_k} \quad (\text{幾何平均})$$
算術平均は常に幾何平均以上であるため、a の項は減少し、b の項は増加して、極限値は両者の間に挟み込まれます。収束は二次収束であり、正しい桁数は1ステップごとにおよそ2倍になります。
計算例：AGM(24, 6)
\(a_0 = 24\)、\(b_0 = 6\)。ステップ1：$$a_1 = \frac{24 + 6}{2} = 15, \qquad b_1 = \sqrt{24 \cdot 6} = \sqrt{144} = 12$$ステップ2：$$a_2 = 13.5, \qquad b_2 = \sqrt{180} \approx 13.41640786$$ステップ3：$$a_3 \approx 13.45820393, \qquad b_3 \approx 13.45820352$$さらに数ステップで両者は \(\text{AGM}(24, 6) \approx 13.45820372613015\) に落ち着きます。
よくある質問（FAQ）
a と b が等しい場合は？ 数列は一定となるため、\(\text{AGM}(a, a) = a\) がただちに得られます。たとえば \(\text{AGM}(5, 5) = 5\) です。
一方の値が 0 の場合は？ 幾何平均が \(\sqrt{0} = 0\) となって 0 のまま変わらないため、\(\text{AGM}(a, 0) = \text{AGM}(0, b) = 0\) になります。
負の数は使えますか？ いいえ。積が負になると実数の範囲で平方根が定義できないため、本ツールでは \(a \ge 0\) かつ \(b \ge 0\) が必要です。
