ما هو المتوسط الحسابي الهندسي؟
المتوسط الحسابي الهندسي، ويُكتب AGM(a, b)، هو بناء رياضي شهير درسه عالم الرياضيات غاوس. تبدأ بعددين غير سالبين هما a وb، ثم تستبدل الزوج مراراً وتكراراً بمتوسطه الحسابي ومتوسطه الهندسي. تتقارب المتتاليتان الجديدتان معاً نحو قيمة مشتركة واحدة — وهذا الحد المشترك هو المتوسط الحسابي الهندسي. إنه مفهوم رياضي بحت ينطبق بالطريقة نفسها في كل مكان؛ فالمدخلات أعداد مجردة بلا وحدات.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل قيمة لـ a وقيمة لـ b (وكلاهما يجب أن يكون صفراً أو موجباً). يحدد أقصى عدد للتكرارات n سقفاً لعدد الدورات — والقيمة الافتراضية البالغة 100 أكبر بكثير مما تحتاجه فعلياً، إذ يتحقق التقارب بدقة مضاعفة عادةً خلال 5 أو 6 خطوات فقط. تُرجع الحاسبة قيمة AGM(a, b) إضافةً إلى عدد التكرارات التي نُفّذت فعلاً قبل أن تتطابق المتتاليتان عند دقة الحساب المستخدمة.
شرح المعادلة
اجعل \(a_0 = a\) و\(b_0 = b\). ثم كرّر العملية التالية:
$$a_{k+1} = \frac{a_k + b_k}{2} \quad (\text{المتوسط الحسابي}), \qquad b_{k+1} = \sqrt{a_k \cdot b_k} \quad (\text{المتوسط الهندسي})$$
ولأن المتوسط الحسابي يكون دائماً أكبر من أو يساوي المتوسط الهندسي، فإن حدود a تتناقص بينما حدود b تتزايد، فيُحاصَر الحد بينهما. والتقارب تربيعي — أي أن عدد الأرقام الصحيحة يتضاعف تقريباً مع كل خطوة.
مثال محلول: AGM(24, 6)
\(a_0 = 24\)، \(b_0 = 6\). الخطوة 1: $$a_1 = \frac{24 + 6}{2} = 15, \qquad b_1 = \sqrt{24 \cdot 6} = \sqrt{144} = 12$$ الخطوة 2: $$a_2 = 13.5, \qquad b_2 = \sqrt{180} \approx 13.41640786$$ الخطوة 3: $$a_3 \approx 13.45820393, \qquad b_3 \approx 13.45820352$$ وخلال خطوتين إضافيتين تستقر القيمتان معاً على \(\text{AGM}(24, 6) \approx 13.45820372613015\).
الأسئلة الشائعة
ماذا لو كان a يساوي b؟ تكون المتتاليتان ثابتتين، لذا فإن \(\text{AGM}(a, a) = a\) فوراً، فمثلاً \(\text{AGM}(5, 5) = 5\).
ماذا لو كانت إحدى القيمتين 0؟ يصبح المتوسط الهندسي \(\sqrt{0} = 0\) ويبقى صفراً، لذا فإن \(\text{AGM}(a, 0) = \text{AGM}(0, b) = 0\).
هل يمكنني استخدام أعداد سالبة؟ لا. فحاصل الضرب السالب يجعل الجذر التربيعي غير معرّف في الأعداد الحقيقية، لذا تتطلب هذه الأداة أن يكون \(a \ge 0\) و\(b \ge 0\).
