Что такое арифметико-геометрическое среднее?
Арифметико-геометрическое среднее, обозначаемое AGM(a, b), — это знаменитая конструкция, которую исследовал Гаусс. Берём два неотрицательных числа a и b и на каждом шаге заменяем эту пару её арифметическим и геометрическим средними. Обе новые последовательности неуклонно сходятся к одному и тому же значению — этот общий предел и есть AGM. Это чистая математика, которая работает одинаково в любой точке мира: на вход подаются безразмерные числа без единиц измерения.
Как пользоваться калькулятором
Введите значение a и значение b (оба должны быть нулём или положительным числом). Параметр максимальное число итераций n ограничивает количество шагов — значение по умолчанию 100 заведомо избыточно, ведь при работе с двойной точностью сходимость наступает обычно за 5–6 шагов. Калькулятор выдаёт AGM(a, b) и число итераций, которые реально потребовались, прежде чем обе последовательности совпали с рабочей точностью.
Разбор формулы
Положим \(a_0 = a\) и \(b_0 = b\). Затем выполняем итерации:
$$a_{k+1} = \frac{a_k + b_k}{2} \quad \text{(арифметическое среднее)} \qquad b_{k+1} = \sqrt{a_k \cdot b_k} \quad \text{(геометрическое среднее)}$$
Поскольку арифметическое среднее всегда не меньше геометрического, члены a убывают, а члены b возрастают, зажимая предел между собой. Сходимость квадратичная — число верных знаков примерно удваивается на каждом шаге.
Пример с расчётом: AGM(24, 6)
\(a_0 = 24\), \(b_0 = 6\). Шаг 1: $$a_1 = \frac{24 + 6}{2} = 15, \qquad b_1 = \sqrt{24 \cdot 6} = \sqrt{144} = 12.$$ Шаг 2: \(a_2 = 13{,}5\), \(b_2 = \sqrt{180} \approx 13{,}41640786\). Шаг 3: \(a_3 \approx 13{,}45820393\), \(b_3 \approx 13{,}45820352\). Ещё через пару шагов оба значения устанавливаются на \(\text{AGM}(24, 6) \approx 13{,}45820372613015\).
Частые вопросы
А если a равно b? Тогда последовательности постоянны, поэтому \(\text{AGM}(a, a) = a\) сразу же, например \(\text{AGM}(5, 5) = 5\).
А если одно из значений равно 0? Геометрическое среднее становится \(\sqrt{0} = 0\) и остаётся нулём, поэтому \(\text{AGM}(a, 0) = \text{AGM}(0, b) = 0\).
Можно ли использовать отрицательные числа? Нет. При отрицательном произведении квадратный корень не определён в действительных числах, поэтому калькулятор требует \(a \ge 0\) и \(b \ge 0\).
