什么是算术-几何平均数？
算术-几何平均数记作 \(\text{AGM}(a, b)\)，是由高斯（Gauss）深入研究过的一个著名构造。从两个非负数 \(a\) 和 \(b\) 出发，每一步都用它们的算术平均数和几何平均数来替换这一对数。两个新数列会不断逼近同一个共同的值——这个共同极限就是 AGM。它属于纯数学范畴，在任何地方的结果都完全一致；输入的是没有单位的无量纲数。
如何使用本计算器
分别输入 a 和 b 的值（两者都必须为零或正数）。最大迭代次数 n 用来限制循环的上限——默认值 100 其实远远绰绰有余，因为在双精度浮点下通常 5 到 6 步就能收敛。计算器会返回 \(\text{AGM}(a, b)\)，以及在工作精度下两个数列趋于一致之前实际执行的迭代次数。
公式详解
令 \(a_0 = a\)，\(b_0 = b\)，然后进行迭代：
$$a_{k+1} = \frac{a_k + b_k}{2} \quad \text{（算术平均数）}, \qquad b_{k+1} = \sqrt{a_k \cdot b_k} \quad \text{（几何平均数）}$$
由于算术平均数始终不小于几何平均数，因此 \(a\) 这一列逐渐减小，而 \(b\) 这一列逐渐增大，极限值被夹在两者之间。其收敛速度是二次的——每迭代一步，正确的有效数字位数大约翻一倍。
计算实例：AGM(24, 6)
\(a_0 = 24\)，\(b_0 = 6\)。第 1 步：\(a_1 = (24 + 6)/2 = 15\)，\(b_1 = \sqrt{24 \cdot 6} = \sqrt{144} = 12\)。第 2 步：\(a_2 = 13.5\)，\(b_2 = \sqrt{180} \approx 13.41640786\)。第 3 步：\(a_3 \approx 13.45820393\)，\(b_3 \approx 13.45820352\)。再迭代一两步，两者就一起稳定在 \(\text{AGM}(24, 6) \approx 13.45820372613015\)。
常见问题
如果 a 等于 b 会怎样？此时两个数列保持不变，所以 \(\text{AGM}(a, a) = a\)，可立即得出结果，例如 \(\text{AGM}(5, 5) = 5\)。
如果其中一个值为 0 会怎样？几何平均数会变成 \(\sqrt{0} = 0\) 并始终保持为 0，因此 \(\text{AGM}(a, 0) = \text{AGM}(0, b) = 0\)。
可以使用负数吗？不可以。负数的乘积会使平方根在实数范围内无定义，所以本工具要求 \(a \ge 0\) 且 \(b \ge 0\)。
