模运算计算器(a mod n,加减乘）| 在线取模工具

输入计算

结果

最小非负余数

结果位于 0 到 n − 1 之间

表达式的值(取模前)	42
模数 n	12

什么是模运算计算器?

模运算又被形象地称为"时钟运算":数值在达到固定的模数 $n$ 之后就会"绕回"重新开始。本计算器用于求解形如 $(a\ \text{op}\ b) \bmod n$ 的表达式,其中运算可以是加法、减法、乘法,或者只是把单个数值 $a$ 对 $n$ 取模。它始终返回 最小非负余数,也就是一个位于 0 到 $n - 1$ 之间的数。

从 0 到 11 的圆形数字环，箭头显示数值绕圈循环 — 模运算让数字绕着大小为 $n$ 的圆环循环。

使用方法

先输入 $a$ 的值,选择一种运算,再填写 $b$(选择"仅取模"时该项会被忽略),最后设置模数 $n$。计算器会先算出表达式的原始结果,然后再对 $n$ 取模。负数结果会被归化到标准的 0…n−1 区间内,因此 $-1 \bmod 12$ 返回的是 11,而不是 $-1$。

公式详解

核心关系式为 $$r = (a\ \text{op}\ b) \bmod n.$$ 由于编程中常见的求余运算可能得到负数,我们采用欧几里得形式 $$r = \left(\left(x \bmod n\right) + n\right) \bmod n,$$ 以确保结果始终非负。这与数论、密码学和哈希算法中通行的数学约定保持一致。

划分为等长区块的数轴，显示负值映射到非负余数 — 负数映射到 0 到 n-1 之间相同的最小非负余数。

实例演示

假设 $a = 17$,运算为加法,$b = 25$,$n = 12$。先计算 $17 + 25 = 42$,再求 $42 \bmod 12$:$$42 = 3 \times 12 + 6,$$ 所以余数为 6。换句话说,在 12 小时制的时钟上,从 17 点再走 25 个"小时",指针正好落在 6 的位置。