Qu'est-ce que le calculateur d'arithmétique modulaire ?
L'arithmétique modulaire, c'est « l'arithmétique de l'horloge » : les nombres reviennent au point de départ une fois atteint un module fixe n. Ce calculateur évalue une expression de la forme (a op b) mod n, où l'opération peut être une addition, une soustraction, une multiplication ou simplement la réduction d'une seule valeur a modulo n. Il renvoie toujours le plus petit résidu positif, un nombre compris entre 0 et n − 1.
Comment l'utiliser
Saisissez une valeur pour a, choisissez une opération, indiquez b (ignoré pour « Modulo seul ») et définissez le module n. Le calculateur calcule d'abord l'expression brute, puis la réduit modulo n. Les résultats négatifs sont ramenés dans l'intervalle standard 0…n−1 : ainsi, \(-1 \bmod 12\) donne 11 et non −1.
La formule expliquée
La relation fondamentale est \(r = (a \text{ op } b) \bmod n\). Comme le reste calculé à la manière d'un langage de programmation peut être négatif, on utilise la forme euclidienne $$r = \left(\left(x \bmod n\right) + n\right) \bmod n$$ afin de garantir un résultat positif. Cela correspond à la convention mathématique employée en théorie des nombres, en cryptographie et dans les fonctions de hachage.
Exemple concret
Supposons \(a = 17\), l'opération est une addition, \(b = 25\) et \(n = 12\). On calcule d'abord $$17 + 25 = 42$$ Puis \(42 \bmod 12\) : \(42 = 3 \times 12 + 6\), donc le résidu vaut 6. Sur une horloge de 12 heures, ajouter 25 « heures » à 17 amène à la position 6.
FAQ
Que signifie « mod » ? Cette opération renvoie le reste de la division. \(13 \bmod 5 = 3\), car \(13 = 2 \times 5 + 3\).
Pourquoi mon nombre négatif devient-il positif ? Nous renvoyons le plus petit résidu positif. Par exemple, \(-7 \bmod 5 = 3\), car en ajoutant deux fois 5 (\(-7 + 10 = 3\)), on retombe dans l'intervalle 0…4.
Et si n = 1 ? Tout entier est congru à 0 modulo 1 : le résultat est donc toujours 0.
