¿Qué es la calculadora de aritmética modular?
La aritmética modular es la conocida «aritmética del reloj»: los números dan la vuelta al alcanzar un módulo fijo n. Esta calculadora evalúa una expresión de la forma (a op b) mod n, donde la operación puede ser una suma, una resta, una multiplicación o, simplemente, reducir un único valor a módulo n. El resultado es siempre el menor residuo no negativo, es decir, un número comprendido entre 0 y n − 1.
Cómo usarla
Introduce el valor de a, elige una operación, indica b (que se ignora si seleccionas «Solo módulo») y fija el módulo n. La calculadora calcula primero la expresión sin reducir y, a continuación, la reduce módulo n. Los resultados negativos se ajustan al intervalo estándar de 0 a n − 1, de modo que \(-1 \bmod 12\) devuelve 11 en lugar de −1.
La fórmula explicada
La relación clave es \(r = (a \mathbin{\text{op}} b) \bmod n\). Como el resto que devuelven muchos lenguajes de programación puede ser negativo, aplicamos la forma euclídea $$r = \left(\left(x \bmod n\right) + n\right) \bmod n$$ para garantizar siempre una respuesta no negativa. Esto coincide con la convención matemática que se usa en la teoría de números, la criptografía y las funciones hash.
Ejemplo resuelto
Imagina que a = 17, la operación es una suma, b = 25 y n = 12. Primero calculamos $$17 + 25 = 42.$$ Después, \(42 \bmod 12\): como \(42 = 3 \times 12 + 6\), el residuo es 6. En un reloj de 12 horas, sumar 17 + 25 «horas» te deja en la posición 6.
Preguntas frecuentes
¿Qué significa «mod»? Devuelve el resto de una división. \(13 \bmod 5 = 3\) porque \(13 = 2 \times 5 + 3\).
¿Por qué mi número negativo se convierte en positivo? Devolvemos el menor residuo no negativo. Por ejemplo, \(-7 \bmod 5 = 3\), ya que al sumar 5 dos veces (\(-7 + 10 = 3\)) caemos dentro del intervalo de 0 a 4.
¿Y si n = 1? Todo número entero es congruente con 0 módulo 1, por lo que el resultado siempre es 0.
