¿Qué es la calculadora de suma de series aritméticas?
Una serie aritmética es la suma de los términos de una progresión aritmética, es decir, una lista de números en la que cada término aumenta (o disminuye) en una misma cantidad fija, conocida como diferencia común. Esta calculadora suma los primeros n términos de una serie de este tipo a partir del primer término, la diferencia común y la cantidad de términos que quieras incluir.
Cómo usarla
Introduce el primer término a₁, la diferencia común d (positiva si la serie crece, negativa si decrece) y el número de términos n. La calculadora te devuelve la suma total Sₙ, el último término aₙ y confirma cuántos términos se han considerado.
La fórmula al detalle
La suma se obtiene con:
$$S_n = \frac{n}{2}\left(2\,a_1 + \left(n - 1\right)d\right)$$
La idea que hay detrás es sencilla: al emparejar el primer término con el último siempre se obtiene la misma cifra, y existen \(n/2\) parejas de ese tipo. Como el último término es \(a_n = a_1 + (n - 1)d\), una forma equivalente de la fórmula es \(S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\).
Ejemplo resuelto
Imagina que \(a_1 = 2\), \(d = 3\) y \(n = 5\). Los términos son 2, 5, 8, 11, 14. Aplicando la fórmula: $$S_n = \frac{5}{2}\left(2\cdot 2 + (5-1)\cdot 3\right) = 2{,}5 \cdot (4 + 12) = 2{,}5 \cdot 16 = 40$$ Si los sumamos directamente: \(2 + 5 + 8 + 11 + 14 = 40\). ✔
Más Ejemplos Resueltos
Las dos formas equivalentes de la suma de una serie aritmética son:
$$S_n = \frac{n}{2}\bigl(2a_1 + (n-1)d\bigr) \qquad\text{y}\qquad S_n = \frac{n}{2}\bigl(a_1 + a_n\bigr)$$La segunda forma es conveniente cuando ya conoces (o primero calculas) el último término \(a_n = a_1 + (n-1)d\).
Ejemplo 1 — Serie decreciente con d negativo
Una serie comienza en \(a_1 = 40\), disminuye \(d = -3\) en cada paso, y tiene \(n = 10\) términos.
$$S_{10} = \frac{10}{2}\bigl(2(40) + (10-1)(-3)\bigr)$$$$= 5\bigl(80 + 9(-3)\bigr) = 5(80 - 27) = 5(53) = \;$$La suma es 265. (El término 10º es \(a_{10} = 40 + 9(-3) = 13\), por lo que los términos son 40, 37, 34, … , 13.)
Ejemplo 2 — Caso de n grande
Suma los primeros \(n = 100\) términos de la serie con \(a_1 = 5\) y \(d = 4\).
$$S_{100} = \frac{100}{2}\bigl(2(5) + (100-1)(4)\bigr)$$$$= 50\bigl(10 + 99(4)\bigr) = 50(10 + 396) = 50(406) = \;$$La suma es 20300.
Ejemplo 3 — Usando la forma \(S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\)
Una serie tiene \(a_1 = 7\), \(d = 5\), y \(n = 20\). Primero encuentra el último término:
$$a_{20} = a_1 + (n-1)d = 7 + (20-1)(5) = 7 + 95 = 102$$Luego aplica la forma del promedio de los extremos:
$$S_{20} = \frac{20}{2}\bigl(a_1 + a_{20}\bigr) = 10(7 + 102) = 10(109) = \;$$La suma es 1090. Esto coincide con la forma expandida \(\frac{20}{2}(2\cdot7 + 19\cdot5) = 10(14 + 95) = 1090\).
Preguntas frecuentes
¿Qué pasa si d es 0? Todos los términos son iguales a a₁, así que la suma es, simplemente, \(n \times a_1\).
¿Puede ser d negativa? Sí. Una diferencia común negativa genera una serie decreciente, y la fórmula sigue funcionando perfectamente.
¿Cuál es la diferencia entre una sucesión y una serie? Una sucesión es la lista ordenada de números; una serie es la suma de esos números.
