等差数列の和の計算機とは？
等差数列とは、隣り合う項の差がつねに一定（この差を「公差」といいます）になっている数の並びのことです。そして等差級数（等差数列の和）は、その並びの各項を足し合わせたものを指します。この計算機では、初項・公差・足し合わせたい項の数を入力するだけで、最初のn項までの合計を一瞬で求められます。
使い方
初項a₁、公差d（増加する数列なら正の値、減少する数列なら負の値）、項数nを入力してください。計算機は総和Sₙ、末項aₙ、そして項数の確認結果を表示します。
公式の解説
和は次の公式で求められます。
$$S_n = \frac{n}{2}\left(2\,a_1 + \left(n - 1\right)d\right)$$
この公式の考え方はシンプルです。最初の項と最後の項を足すと、その合計はつねに一定になり、そうしたペアが\(n/2\)組できます。末項は\(a_n = a_1 + \left(n - 1\right)d\)で表せるので、同じ意味の式として $$S_n = \frac{n}{2}\left(a_1 + a_n\right)$$ とも書けます。
計算例
例として \(a_1 = 2\)、\(d = 3\)、\(n = 5\) の場合を考えます。各項は 2, 5, 8, 11, 14 です。公式に当てはめると、$$S_n = \frac{5}{2}\left(2\cdot 2 + \left(5-1\right)\cdot 3\right) = 2.5\cdot\left(4 + 12\right) = 2.5\cdot 16 = \mathbf{40}$$ 実際に順番に足してみても、\(2 + 5 + 8 + 11 + 14 = 40\) となり、一致します。✔
より多くの演習例
等差級数の和の2つの等価な形式は：
$$S_n = \frac{n}{2}\bigl(2a_1 + (n-1)d\bigr) \qquad\text{および}\qquad S_n = \frac{n}{2}\bigl(a_1 + a_n\bigr)$$2番目の形式は、最終項 \(a_n = a_1 + (n-1)d\) を既に知っている（またはまず計算した）ときに便利です。
例1 — 負のdを持つ減少級数
級数は \(a_1 = 40\) で始まり、各ステップで \(d = -3\) だけ減少し、\(n = 10\) 項があります。
$$S_{10} = \frac{10}{2}\bigl(2(40) + (10-1)(-3)\bigr)$$$$= 5\bigl(80 + 9(-3)\bigr) = 5(80 - 27) = 5(53) = \;$$合計は 265 です。（10番目の項は \(a_{10} = 40 + 9(-3) = 13\) であるため、項は 40, 37, 34, … , 13 となります。）
例2 — 大きなn の場合
\(a_1 = 5\) と \(d = 4\) の級数の最初の \(n = 100\) 項を合計します。
$$S_{100} = \frac{100}{2}\bigl(2(5) + (100-1)(4)\bigr)$$$$= 50\bigl(10 + 99(4)\bigr) = 50(10 + 396) = 50(406) = \;$$合計は 20300 です。
例3 — \(S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\) の形式を使用する
級数には \(a_1 = 7\)、\(d = 5\)、\(n = 20\) があります。まず最終項を求めます：
$$a_{20} = a_1 + (n-1)d = 7 + (20-1)(5) = 7 + 95 = 102$$次に、端点の平均形式を適用します：
$$S_{20} = \frac{20}{2}\bigl(a_1 + a_{20}\bigr) = 10(7 + 102) = 10(109) = \;$$合計は 1090 です。これは展開形 \(\frac{20}{2}(2\cdot7 + 19\cdot5) = 10(14 + 95) = 1090\) と一致します。
よくある質問
dが0のときはどうなりますか？ すべての項がa₁と同じ値になるため、和は単純に \(n \times a_1\) になります。
dは負の数でもよいですか？ はい。公差が負の場合は減少する数列になりますが、公式はそのまま正しく機能します。
「数列」と「級数」の違いは何ですか？ 数列は順番に並んだ数のリストそのものを指し、級数（数列の和）はそれらの数を足し合わせた合計を指します。
