この計算ツールでできること
「特殊数列の和（Σ）計算」は、選んだ「特殊数列」について第 n 項までの和を、その閉じた和の公式（一般項を直接計算する公式）を使って求めるツールです。項を1つずつ足し合わせるのではなく、既知の和の公式を当てはめるため、n が大きくても答えは正確で、しかも一瞬で得られます。単位も国ごとのルールも関係しない、純粋な数学のツールなので、どこで使っても結果は同じです。
7種類の数列
k = 1 から n まで和をとる項の式として、次のいずれかを選べます。
\(\sum k = \frac{n(n+1)}{2}\); \(\sum k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\); \(\sum k^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}\); \(\sum k(k+1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}\); \(\sum \frac{1}{k(k+1)} = \frac{n}{n+1}\); \(\sum k(k+1)(k+2) = \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}\); そして \(\sum \frac{1}{k(k+1)(k+2)} = \frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}\) です。
1番目・2番目・3番目・4番目・6番目は整数の結果になります。5番目と7番目は途中の項が打ち消し合う「望遠鏡型（telescoping）」の級数で、その和は必ず 0 より大きく 1 より小さい値になります。
使い方
プルダウンから数列を選び、項数 n（1、2、3 … という正の整数）を入力し、表示する有効桁数を指定すれば、和がそのまま表示されます。有効桁数の設定はあくまで表示上のもので、内部の閉じた公式による計算は数学的に厳密です。
計算例
\(\sum k^3\) を選び、n = 9 とします。公式により $$\frac{9^2 \times 10^2}{4} = \frac{81 \times 100}{4} = \frac{8100}{4} = 2025$$ となります。これは有名な恒等式 \(1^3 + 2^3 + \cdots + 9^3 = 2025\) と一致します。
よくある質問
なぜ足し算ではなく公式を使うのですか？ 閉じた公式は計算量が O(1) です。n がどれほど大きくても瞬時に正確な答えが得られ、長い足し算による丸め誤差も生じません。
n が正の整数でない場合はどうなりますか？ 和の添字 k は正の整数を動くため、n は 1 以上の最も近い整数に丸められます。
なぜ5番目と7番目は1より小さいのですか？ これらは望遠鏡型の級数で、部分和は 1（\(\frac{1}{k(k+1)}\) の場合）または 1/4（\(\frac{1}{k(k+1)(k+2)}\) の場合）に近づきますが、有限の n では決してその極限値には達しません。
