Calculateur de somme de séries spéciales (Σ)

Entrez le calcul

Special series Σ Σ k = n(n+1)/2 Σ k² = n(n+1)(2n+1)/6 Σ k³ = n²(n+1)²/4 Σ k(k+1) = n(n+1)(n+2)/3 Σ 1/(k(k+1)) = n/(n+1) Σ k(k+1)(k+2) = n(n+1)(n+2)(n+3)/4 Σ 1/(k(k+1)(k+2))

Nombre de termes n n = 1, 2, 3 …

Précision d'affichage (chiffres significatifs) 6 digits 10 digits 14 digits 18 digits 22 digits 26 digits 30 digits 34 digits 38 digits 42 digits 46 digits 50 digits

Formule

Show calculation steps (1)

1. Sum of squares / cubes

   

   Standard power-sum identities.

Résultats

Somme de la série

55

Σ from k = 1 to n

Termes sommés (n)	10

Ce que fait ce calculateur

Le calculateur de somme de séries spéciales (Σ) évalue la somme des n premiers termes d'une suite « spéciale » choisie à partir de sa formule fermée exacte. Au lieu d'additionner les termes un à un, il applique une identité connue : le résultat est donc exact et instantané, même pour de grandes valeurs de n. C'est un outil de mathématiques pures qui fonctionne de la même façon partout — sans unités ni cadre national.

Les sept séries

Vous pouvez choisir n'importe laquelle de ces expressions de terme, sommée de \(k = 1\) à \(n\) :

$$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$$ $$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$ $$\sum_{k=1}^{n} k^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$$ $$\sum_{k=1}^{n} k(k+1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$$ $$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} = \frac{n}{n+1}$$ $$\sum_{k=1}^{n} k(k+1)(k+2) = \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}$$ et $$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)(k+2)} = \frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}$$

Les première, deuxième, troisième, quatrième et sixième séries donnent des résultats entiers ; la cinquième et la septième sont des séries télescopiques dont les sommes sont strictement comprises entre 0 et 1.

L'intuition géométrique derrière quatre des séries spéciales.

Comment l'utiliser

Sélectionnez une série dans la liste déroulante, saisissez le nombre de termes n (un entier positif : 1, 2, 3…), choisissez le nombre de chiffres significatifs à afficher, puis lisez la somme. Le sélecteur de précision est purement esthétique — les formules fermées sous-jacentes sont mathématiquement exactes.

Exemple détaillé

Choisissez \(\sum k^3\) avec \(n = 9\). La formule donne $$\frac{9^2 \times 10^2}{4} = \frac{81 \times 100}{4} = \frac{8100}{4} = 2025.$$ Cela correspond à l'identité classique \(1^3 + 2^3 + \dots + 9^3 = 2025\).

Pourquoi \(1+2+...+n\) vaut \(\frac{n(n+1)}{2}\) : deux escaliers pavent un rectangle.

FAQ

Pourquoi utiliser une formule plutôt qu'additionner ? Les formules fermées sont en \(O(1)\) — instantanées et exactes quelle que soit la taille de \(n\), sans erreur d'arrondi liée à une longue addition.

Que se passe-t-il si n n'est pas un entier positif ? L'indice de sommation \(k\) parcourt les entiers positifs ; \(n\) est donc ramené à l'entier le plus proche, avec un minimum de 1.

Pourquoi les options 5 et 7 sont-elles inférieures à 1 ? Ce sont des séries télescopiques dont les sommes partielles tendent vers 1 (pour \(\frac{1}{k(k+1)}\)) ou vers \(\frac{1}{4}\) (pour \(\frac{1}{k(k+1)(k+2)}\)) sans jamais atteindre la limite pour \(n\) fini.