À quoi sert cette calculatrice
Cet outil évalue une somme partielle exprimée en notation sigma : \( S = \sum_{i=\text{m}}^{\text{n}} f(i) \). Il additionne la valeur d'une fonction choisie pour chaque indice entier compris entre la borne inférieure m et la borne supérieure n, ces deux bornes incluses. Les sommes partielles sont omniprésentes en algèbre, en analyse et en informatique, dès qu'il s'agit de calculer le cumul d'une suite.
Mode d'emploi
Choisissez un type de fonction : \( i \) (les entiers naturels), \( i^{2} \) (les carrés), \( i^{3} \) (les cubes), une forme linéaire \( \text{a}\, i + \text{b} \), une forme géométrique \( \text{a} \cdot \text{r}^{\,i} \) ou l'harmonique \( \frac{1}{i} \). Saisissez l'indice inférieur m et l'indice supérieur n. Pour les formes linéaire et géométrique, renseignez les coefficients a, b et la raison r. La calculatrice affiche le total, le nombre de termes additionnés et le terme moyen.
La formule expliquée
L'expression $$S = \sum_{i=\text{m}}^{\text{n}} f(i)$$ signifie simplement : on part de \( i = \text{m} \), on évalue \( f(i) \), on passe à \( i = \text{m}+1 \), et ainsi de suite jusqu'à \( i = \text{n} \), en additionnant chaque résultat. Le nombre de termes vaut \( \text{n} - \text{m} + 1 \). Par exemple, la somme des carrés repose sur \( f(i) = i^{2} \), qui possède la forme close \( \frac{\text{n}(\text{n}+1)(2\text{n}+1)}{6} \) lorsque \( \text{m} = 1 \).
Exemple détaillé
Somme des carrés de 1 à 5 : $$1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + 4^{2} + 5^{2} = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55$$ soit 5 termes pour une moyenne de 11.
FAQ
Les deux bornes sont-elles incluses ? Oui, la somme inclut à la fois \( i = \text{m} \) et \( i = \text{n} \).
Que se passe-t-il si n est inférieur à m ? La somme est considérée comme vide et renvoie 0.
L'indice peut-il être négatif ? Oui : m et n peuvent être n'importe quels entiers, dès lors que \( \text{n} \geq \text{m} \). Pour l'harmonique \( \frac{1}{i} \), le terme \( i = 0 \) est ignoré afin d'éviter la division par zéro.
