Calculateur d'amplitude, de période et de déphasage

Entrez le calcul

a (coefficient d'amplitude)

b (étirement horizontal)

c (terme de phase)

d (décalage vertical)

Forme : y = a · sin(bx − c) + d

Résultats

Amplitude

2

|a|

Période (2π / |b|)	2,0944
Déphasage (c / b)	0,3333
Décalage vertical (d)	0
Fréquence (1 / période)	0,4775

À quoi sert ce calculateur

Cet outil analyse toute fonction sinusoïdale écrite sous la forme standard \(y = a\,\sin(bx - c) + d\) (il fonctionne de façon identique pour le cosinus). À partir des quatre coefficients a, b, c et d, il vous renvoie instantanément les quatre transformations clés de l'onde : l'amplitude, la période, le déphasage et le décalage vertical, ainsi que la fréquence.

Comment l'utiliser

Saisissez vos coefficients exactement tels qu'ils apparaissent dans la fonction. Par exemple, pour \(y = 2\cdot\sin(3x - 1)\), entrez a = 2, b = 3, c = 1, d = 0. Le calculateur gère les valeurs négatives comme les décimales. Si votre fonction est écrite sous la forme \(a\cdot\sin(b(x - h))\), développez simplement le produit pour obtenir \(c = b\cdot h\) avant de la saisir.

La formule expliquée

L'amplitude vaut \(|a|\) : c'est l'écart maximal de la courbe au-dessus ou en dessous de son axe médian. La période vaut \(\frac{2\pi}{|b|}\), soit la longueur horizontale d'un cycle complet — plus \(|b|\) est grand, plus l'onde est resserrée. Le déphasage vaut \(\frac{c}{b}\), le déplacement horizontal (une valeur positive décale le graphe vers la droite). Le décalage vertical \(d\) déplace l'axe médian vers le haut ou vers le bas. La fréquence est l'inverse de la période.

Comment l'amplitude (a), la période, le déphasage (c) et le décalage vertical (d) apparaissent sur la courbe sinusoïdale.

Exemple résolu

Prenons $$y = 2\cdot\sin(3x - 1).$$ Amplitude \(= |2| = 2\). Période \(= \frac{2\pi}{3} \approx 2{,}0944\). Déphasage \(= \frac{1}{3} \approx 0{,}3333\) (vers la droite). Décalage vertical \(= 0\). L'onde oscille donc de 2 unités autour de l'axe des abscisses, parcourt un cycle complet tous les ≈2,09 unités et est décalée vers la droite d'environ un tiers d'unité.

La courbe transformée (en gras) comparée à la courbe sinusoïdale de base (en gris).

Termes clés définis

Amplitude \((|a|)\)

La moitié de la distance verticale entre le maximum et le minimum de l'onde — la hauteur du pic au-dessus de la ligne médiane. Elle est toujours égale à la valeur absolue de \(a\) ; un \(a\) négatif réfléchit la courbe à travers la ligne médiane mais ne change pas l'amplitude.

Période \(\left(\tfrac{2\pi}{|b|}\right)\)

La longueur horizontale d'un cycle complet. Un \(|b|\) plus grand comprime l'onde (période plus courte) ; un \(|b|\) plus petit l'étire (période plus longue).

Déphasage \(\left(\tfrac{c}{b}\right)\)

Le déplacement horizontal de la courbe. Une valeur positive décale le graphique vers la droite, une valeur négative vers la gauche. Notez que c'est \(c/b\), pas seulement \(c\).

Décalage vertical / ligne médiane \((d)\)

La ligne horizontale \(y = d\) autour de laquelle l'onde oscille. Le graphique monte pour \(d>0\) et descend pour \(d<0\).

Fréquence \(\left(\tfrac{|b|}{2\pi}\right)\)

Le nombre de cycles complets par unité de \(x\) ; l'inverse de la période. Dans les contextes physiques où \(x\) est le temps, cela se mesure en cycles par seconde (hertz).

Fréquence angulaire \((b)\)

Le coefficient de \(x\), exprimé en radians par unité de \(x\). Il se rapporte à la fréquence ordinaire par \(b = 2\pi f\) et détermine la vitesse à laquelle l'argument du sinus avance.

Les coefficients \(a, b, c, d\)

Dans \(y = a\sin(bx - c)+d\) : \(a\) définit l'étirement vertical et l'amplitude, \(b\) définit la compression horizontale (période/fréquence), \(c\) contrôle le déphasage horizontal par \(c/b\), et \(d\) définit la position verticale de la ligne médiane.

Plus d'exemples traités

Exemple 1 : \(y = -4\cos(2x + \pi) + 1\)

Bien qu'écrite avec le cosinus, les mêmes règles de transformation s'appliquent. Faites correspondre à \(a\cos(bx - c)+d\) en réécrivant \(2x+\pi\) comme \(2x-(-\pi)\), donc \(a=-4,\ b=2,\ c=-\pi,\ d=1\).

1. Amplitude : \(|a| = |-4| = 4\). Le signe négatif réfléchit la courbe mais l'amplitude est 4.
2. Période : \(\dfrac{2\pi}{|b|} = \dfrac{2\pi}{2} = \pi\).
3. Déphasage : \(\dfrac{c}{b} = \dfrac{-\pi}{2} = -\dfrac{\pi}{2}\), c'est-à-dire \(\tfrac{\pi}{2}\) vers la gauche.
4. Décalage vertical : \(d = 1\) ; la ligne médiane est \(y = 1\).

Exemple 2 : \(y = 2\sin(0.5x - 1.5) - 3\)

Ici \(a=2,\ b=0.5,\ c=1.5,\ d=-3\).

1. Amplitude : \(|a| = 2\).
2. Période : \(\dfrac{2\pi}{0.5} = 4\pi \approx 12.566\).
3. Déphasage : \(\dfrac{1.5}{0.5} = 3\) vers la droite.
4. Décalage vertical : \(d = -3\) ; la ligne médiane est \(y = -3\).

Exemple 3 : \(y = \tfrac{3}{4}\sin(3x - \tfrac{\pi}{2})\)

Un cas d'amplitude fractionnaire avec \(a=\tfrac34,\ b=3,\ c=\tfrac{\pi}{2},\ d=0\).

1. Amplitude : \(|a| = \tfrac34 = 0.75\).
2. Période : \(\dfrac{2\pi}{3} \approx 2.094\).
3. Déphasage : \(\dfrac{\pi/2}{3} = \dfrac{\pi}{6} \approx 0.524\) vers la droite.
4. Décalage vertical : \(d = 0\) ; la ligne médiane est l'axe des \(x\).

Vous pouvez confirmer une seule valeur de sortie pour cette courbe — par exemple en \(x=\tfrac{\pi}{2}\), \(y = \tfrac34\sin(3\cdot\tfrac{\pi}{2} - \tfrac{\pi}{2}) = \tfrac34\sin(\pi) = \)0.

FAQ

Cela fonctionne-t-il pour le cosinus ? Oui. L'amplitude, la période, le déphasage et le décalage vertical se calculent de la même manière pour \(y = a\cdot\cos(bx - c) + d\).

Pourquoi mon déphasage est-il positif quand c est positif ? Avec la forme \(bx - c\), le déphasage \(\frac{c}{b}\) déplace le graphe vers la droite. Si votre fonction utilise \(bx + c\), saisissez c en valeur négative.

Et si b vaut 0 ? Une période nulle n'a pas de sens pour une onde : le calculateur renvoie alors 0 pour éviter une division par zéro — vérifiez votre coefficient.