Calculateur d'amplitude, de période et de déphasage (a·sin(bx−c)+d)

Période (2π / \|b\|)	2,0944
Déphasage (c / b)	0,3333
Décalage vertical (d)	0
Fréquence (1 / période)	0,4775

À quoi sert ce calculateur

Cet outil analyse toute fonction sinusoïdale écrite sous la forme standard $y = a\,\sin(bx - c) + d$ (il fonctionne de façon identique pour le cosinus). À partir des quatre coefficients a, b, c et d, il vous renvoie instantanément les quatre transformations clés de l'onde : l'amplitude, la période, le déphasage et le décalage vertical, ainsi que la fréquence.

Comment l'utiliser

Saisissez vos coefficients exactement tels qu'ils apparaissent dans la fonction. Par exemple, pour $y = 2\cdot\sin(3x - 1)$, entrez a = 2, b = 3, c = 1, d = 0. Le calculateur gère les valeurs négatives comme les décimales. Si votre fonction est écrite sous la forme $a\cdot\sin(b(x - h))$, développez simplement le produit pour obtenir $c = b\cdot h$ avant de la saisir.

La formule expliquée

L'amplitude vaut $|a|$ : c'est l'écart maximal de la courbe au-dessus ou en dessous de son axe médian. La période vaut $\frac{2\pi}{|b|}$, soit la longueur horizontale d'un cycle complet — plus $|b|$ est grand, plus l'onde est resserrée. Le déphasage vaut $\frac{c}{b}$, le déplacement horizontal (une valeur positive décale le graphe vers la droite). Le décalage vertical $d$ déplace l'axe médian vers le haut ou vers le bas. La fréquence est l'inverse de la période.

Onde sinusoïdale avec l'amplitude, la période, le décalage vertical et le déphasage indiqués — Comment l'amplitude (a), la période, le déphasage (c) et le décalage vertical (d) apparaissent sur la courbe sinusoïdale.

Exemple résolu

Prenons $$y = 2\cdot\sin(3x - 1).$$ Amplitude $= |2| = 2$. Période $= \frac{2\pi}{3} \approx 2{,}0944$. Déphasage $= \frac{1}{3} \approx 0{,}3333$ (vers la droite). Décalage vertical $= 0$. L'onde oscille donc de 2 unités autour de l'axe des abscisses, parcourt un cycle complet tous les ≈2,09 unités et est décalée vers la droite d'environ un tiers d'unité.

Courbe sinusoïdale de référence comparée à une courbe transformée plus haute, plus large et décalée — La courbe transformée (en gras) comparée à la courbe sinusoïdale de base (en gris).

Termes clés définis

Amplitude $(|a|)$: La moitié de la distance verticale entre le maximum et le minimum de l'onde — la hauteur du pic au-dessus de la ligne médiane. Elle est toujours égale à la valeur absolue de $a$ ; un $a$ négatif réfléchit la courbe à travers la ligne médiane mais ne change pas l'amplitude.
Période $\left(\tfrac{2\pi}{|b|}\right)$: La longueur horizontale d'un cycle complet. Un $|b|$ plus grand comprime l'onde (période plus courte) ; un $|b|$ plus petit l'étire (période plus longue).
Déphasage $\left(\tfrac{c}{b}\right)$: Le déplacement horizontal de la courbe. Une valeur positive décale le graphique vers la droite, une valeur négative vers la gauche. Notez que c'est $c/b$, pas seulement $c$.
Décalage vertical / ligne médiane $(d)$: La ligne horizontale $y = d$ autour de laquelle l'onde oscille. Le graphique monte pour $d>0$ et descend pour $d<0$.
Fréquence $\left(\tfrac{|b|}{2\pi}\right)$: Le nombre de cycles complets par unité de $x$ ; l'inverse de la période. Dans les contextes physiques où $x$ est le temps, cela se mesure en cycles par seconde (hertz).
Fréquence angulaire $(b)$: Le coefficient de $x$, exprimé en radians par unité de $x$. Il se rapporte à la fréquence ordinaire par $b = 2\pi f$ et détermine la vitesse à laquelle l'argument du sinus avance.
Les coefficients $a, b, c, d$: Dans $y = a\sin(bx - c)+d$ : $a$ définit l'étirement vertical et l'amplitude, $b$ définit la compression horizontale (période/fréquence), $c$ contrôle le déphasage horizontal par $c/b$, et $d$ définit la position verticale de la ligne médiane.

Plus d'exemples traités

Exemple 1 : $y = -4\cos(2x + \pi) + 1$

Bien qu'écrite avec le cosinus, les mêmes règles de transformation s'appliquent. Faites correspondre à $a\cos(bx - c)+d$ en réécrivant $2x+\pi$ comme $2x-(-\pi)$, donc $a=-4,\ b=2,\ c=-\pi,\ d=1$.

Amplitude : $|a| = |-4| = 4$. Le signe négatif réfléchit la courbe mais l'amplitude est 4.
Période : $\dfrac{2\pi}{|b|} = \dfrac{2\pi}{2} = \pi$.
Déphasage : $\dfrac{c}{b} = \dfrac{-\pi}{2} = -\dfrac{\pi}{2}$, c'est-à-dire $\tfrac{\pi}{2}$ vers la gauche.
Décalage vertical : $d = 1$ ; la ligne médiane est $y = 1$.

Exemple 2 : $y = 2\sin(0.5x - 1.5) - 3$

Ici $a=2,\ b=0.5,\ c=1.5,\ d=-3$.

Amplitude : $|a| = 2$.
Période : $\dfrac{2\pi}{0.5} = 4\pi \approx 12.566$.
Déphasage : $\dfrac{1.5}{0.5} = 3$ vers la droite.
Décalage vertical : $d = -3$ ; la ligne médiane est $y = -3$.

Exemple 3 : $y = \tfrac{3}{4}\sin(3x - \tfrac{\pi}{2})$

Un cas d'amplitude fractionnaire avec $a=\tfrac34,\ b=3,\ c=\tfrac{\pi}{2},\ d=0$.

Amplitude : $|a| = \tfrac34 = 0.75$.
Période : $\dfrac{2\pi}{3} \approx 2.094$.
Déphasage : $\dfrac{\pi/2}{3} = \dfrac{\pi}{6} \approx 0.524$ vers la droite.
Décalage vertical : $d = 0$ ; la ligne médiane est l'axe des $x$.

Vous pouvez confirmer une seule valeur de sortie pour cette courbe — par exemple en $x=\tfrac{\pi}{2}$, $y = \tfrac34\sin(3\cdot\tfrac{\pi}{2} - \tfrac{\pi}{2}) = \tfrac34\sin(\pi) = $0.

FAQ

Cela fonctionne-t-il pour le cosinus ? Oui. L'amplitude, la période, le déphasage et le décalage vertical se calculent de la même manière pour $y = a\cdot\cos(bx - c) + d$.

Pourquoi mon déphasage est-il positif quand c est positif ? Avec la forme $bx - c$, le déphasage $\frac{c}{b}$ déplace le graphe vers la droite. Si votre fonction utilise $bx + c$, saisissez c en valeur négative.

Et si b vaut 0 ? Une période nulle n'a pas de sens pour une onde : le calculateur renvoie alors 0 pour éviter une division par zéro — vérifiez votre coefficient.