Công cụ này làm gì?
Công cụ này phân tích mọi hàm sin dạng chuẩn \(y = a\cdot\sin(bx - c) + d\) (và áp dụng y hệt cho hàm cos). Chỉ từ bốn hệ số a, b, c và d, máy sẽ trả về ngay bốn phép biến đổi quan trọng của sóng: biên độ, chu kỳ, độ dịch pha và độ dịch dọc, kèm theo tần số.
Cách sử dụng
Hãy nhập các hệ số đúng như chúng xuất hiện trong hàm số. Ví dụ, với \(y = 2\cdot\sin(3x - 1)\), bạn đặt a = 2, b = 3, c = 1, d = 0. Máy tính xử lý được cả số âm lẫn số thập phân. Nếu hàm của bạn viết dưới dạng \(a\cdot\sin(b(x - h))\), chỉ cần nhân phân phối để tính \(c = b\cdot h\) rồi mới nhập vào.
Giải thích công thức
Biên độ là \(|a|\) — khoảng cách lớn nhất mà đường cong dâng lên hoặc hạ xuống so với đường giữa. Chu kỳ là \(\frac{2\pi}{|b|}\) — độ dài theo phương ngang của một chu kỳ trọn vẹn; \(|b|\) càng lớn thì sóng càng bị nén lại. Độ dịch pha là \(\frac{c}{b}\) — độ dịch chuyển theo phương ngang (giá trị dương làm đồ thị dịch sang phải). Độ dịch dọc \(d\) nâng hoặc hạ đường giữa lên xuống. Tần số là nghịch đảo của chu kỳ.
Ví dụ minh họa
Xét \(y = 2\cdot\sin(3x - 1)\). Biên độ \(= |2| = 2\). Chu kỳ \(= \frac{2\pi}{3} \approx 2{,}0944\). Độ dịch pha \(= \frac{1}{3} \approx 0{,}3333\) (sang phải). Độ dịch dọc = 0. Như vậy sóng dao động trong khoảng 2 đơn vị quanh trục x, hoàn thành một chu kỳ sau mỗi ≈2,09 đơn vị, và dịch sang phải khoảng một phần ba đơn vị.
Các Thuật Ngữ Chính Được Định Nghĩa
- Biên độ \((|a|)\)
- Một nửa khoảng cách thẳng đứng giữa điểm cực đại và cực tiểu của sóng — chiều cao của đỉnh sóng so với đường trung bình. Nó luôn bằng giá trị tuyệt đối của \(a\); một giá trị \(a\) âm sẽ phản chiếu đường cong qua đường trung bình nhưng không thay đổi biên độ.
- Chu kỳ \(\left(\tfrac{2\pi}{|b|}\right)\)
- Chiều dài ngang của một chu kỳ hoàn chỉnh. Giá trị \(|b|\) lớn hơn sẽ nén sóng lại (chu kỳ ngắn hơn); giá trị \(|b|\) nhỏ hơn sẽ kéo dãn nó (chu kỳ dài hơn).
- Dịch pha \(\left(\tfrac{c}{b}\right)\)
- Sự dịch chuyển ngang của đường cong. Một giá trị dương sẽ dịch đồ thị sang phải, một giá trị âm sang trái. Lưu ý rằng nó là \(c/b\), không chỉ là \(c\).
- Dịch chuyển thẳng đứng / đường trung bình \((d)\)
- Đường ngang \(y = d\) mà xung quanh đó sóng dao động. Đồ thị di chuyển lên khi \(d>0\) và xuống khi \(d<0\).
- Tần số \(\left(\tfrac{|b|}{2\pi}\right)\)
- Số chu kỳ hoàn chỉnh trên một đơn vị của \(x\); nghịch đảo của chu kỳ. Trong các bối cảnh vật lý khi \(x\) là thời gian, điều này được đo bằng chu kỳ trên giây (hertz).
- Tần số góc \((b)\)
- Hệ số của \(x\), được biểu thị bằng radian trên một đơn vị của \(x\). Nó liên hệ đến tần số thông thường bởi \(b = 2\pi f\) và xác định tốc độ tiến của đối số của hàm sin.
- Các hệ số \(a, b, c, d\)
- Trong \(y = a\sin(bx - c)+d\): \(a\) đặt độ co giãn thẳng đứng và biên độ, \(b\) đặt độ nén ngang (chu kỳ/tần số), \(c\) kiểm soát dịch pha ngang thông qua \(c/b\), và \(d\) đặt vị trí thẳng đứng của đường trung bình.
Thêm Các Ví Dụ Đã Làm
Ví Dụ 1: \(y = -4\cos(2x + \pi) + 1\)
Mặc dù được viết với hàm cosin, các quy tắc biến đổi tương tự cũng áp dụng. Khớp nó với \(a\cos(bx - c)+d\) bằng cách viết lại \(2x+\pi\) thành \(2x-(-\pi)\), vì vậy \(a=-4,\ b=2,\ c=-\pi,\ d=1\).
- Biên độ: \(|a| = |-4| = 4\). Dấu âm phản chiếu đường cong nhưng biên độ là 4.
- Chu kỳ: \(\dfrac{2\pi}{|b|} = \dfrac{2\pi}{2} = \pi\).
- Dịch pha: \(\dfrac{c}{b} = \dfrac{-\pi}{2} = -\dfrac{\pi}{2}\), tức là dịch \(\tfrac{\pi}{2}\) sang trái.
- Dịch chuyển thẳng đứng: \(d = 1\); đường trung bình là \(y = 1\).
Ví Dụ 2: \(y = 2\sin(0.5x - 1.5) - 3\)
Ở đây \(a=2,\ b=0.5,\ c=1.5,\ d=-3\).
- Biên độ: \(|a| = 2\).
- Chu kỳ: \(\dfrac{2\pi}{0.5} = 4\pi \approx 12.566\).
- Dịch pha: \(\dfrac{1.5}{0.5} = 3\) sang phải.
- Dịch chuyển thẳng đứng: \(d = -3\); đường trung bình là \(y = -3\).
Ví Dụ 3: \(y = \tfrac{3}{4}\sin(3x - \tfrac{\pi}{2})\)
Một trường hợp biên độ phân số với \(a=\tfrac34,\ b=3,\ c=\tfrac{\pi}{2},\ d=0\).
- Biên độ: \(|a| = \tfrac34 = 0.75\).
- Chu kỳ: \(\dfrac{2\pi}{3} \approx 2.094\).
- Dịch pha: \(\dfrac{\pi/2}{3} = \dfrac{\pi}{6} \approx 0.524\) sang phải.
- Dịch chuyển thẳng đứng: \(d = 0\); đường trung bình là trục \(x\).
Bạn có thể xác nhận một giá trị đầu ra duy nhất cho đường cong này — chẳng hạn tại \(x=\tfrac{\pi}{2}\), \(y = \tfrac34\sin(3\cdot\tfrac{\pi}{2} - \tfrac{\pi}{2}) = \tfrac34\sin(\pi) = \)0.
Câu hỏi thường gặp
Công cụ có dùng được cho hàm cos không? Có. Biên độ, chu kỳ, độ dịch pha và độ dịch dọc đều được tính theo cùng cách cho \(y = a\cdot\cos(bx - c) + d\).
Vì sao độ dịch pha lại dương khi c dương? Với dạng \(bx - c\), độ dịch \(\frac{c}{b}\) làm đồ thị dịch sang phải. Nếu hàm của bạn dùng dạng \(bx + c\), hãy nhập c bằng một số âm.
Nếu b bằng 0 thì sao? Chu kỳ bằng 0 là vô nghĩa đối với một sóng, nên máy tính trả về 0 để tránh phép chia cho 0 — bạn hãy kiểm tra lại hệ số của mình.
