ما الذي تقوم به هذه الحاسبة
تحلّل هذه الأداة أي دالة جيبية مكتوبة بالصيغة القياسية \(y = a\,\sin(bx - c) + d\) (وتعمل بالطريقة نفسها مع دالة جيب التمام cosine). انطلاقًا من المعاملات الأربعة a وb وc وd، تعرض لك فورًا التحويلات الأربعة الأساسية للموجة: السعة، والدورة، والإزاحة الطورية، والإزاحة الرأسية، بالإضافة إلى التردد.
طريقة الاستخدام
أدخل المعاملات تمامًا كما تظهر في الدالة. فمثلًا في الدالة \(y = 2\cdot\sin(3x - 1)\)، اضبط \(a = 2\) وb = 3 وc = 1 وd = 0. تتعامل الحاسبة مع القيم السالبة والأعداد العشرية بلا مشكلة. وإذا كانت دالتك مكتوبة على الصورة \(a\cdot\sin(b(x - h))\)، فكل ما عليك هو فك الأقواس بحيث يصبح \(c = b\cdot h\) قبل إدخال القيمة.
شرح القانون
السعة (Amplitude) هي \(|a|\)، أي أقصى مسافة ترتفع أو تنخفض بها المنحنية عن خط الوسط. أما الدورة (Period) فهي \(\frac{2\pi}{|b|}\)، وهي الطول الأفقي لدورة كاملة واحدة — وكلما زادت قيمة \(|b|\) انضغطت الموجة أكثر. والإزاحة الطورية (Phase shift) هي \(\frac{c}{b}\)، أي الإزاحة الأفقية (القيمة الموجبة تزيح الرسم البياني إلى اليمين). والإزاحة الرأسية (Vertical shift) d تحرّك خط الوسط إلى الأعلى أو الأسفل. والتردد هو مقلوب الدورة.
مثال محلول
لنأخذ الدالة \(y = 2\cdot\sin(3x - 1)\). السعة \(= |2| = 2\). الدورة \(= \frac{2\pi}{3} \approx 2.0944\). الإزاحة الطورية \(= \frac{1}{3} \approx 0.3333\) (إلى اليمين). الإزاحة الرأسية \(= 0\). أي أن الموجة تتأرجح بمقدار وحدتين حول المحور السيني، وتُكمل دورة كاملة كل ≈2.09 وحدة، مع إزاحتها إلى اليمين بمقدار ثلث وحدة تقريبًا.
المصطلحات الأساسية المحددة
- السعة \((|a|)\)
- نصف المسافة العمودية بين الحد الأقصى والحد الأدنى للموجة — ارتفاع القمة فوق الخط الوسيط. وهي تساوي دائماً القيمة المطلقة \(a\)؛ السالب \(a\) يعكس المنحنى عبر الخط الوسيط ولكن لا يغير السعة.
- الدورة \(\left(\tfrac{2\pi}{|b|}\right)\)
- الطول الأفقي لدورة واحدة كاملة. \(|b|\) الأكبر يضغط الموجة (دورة أقصر)؛ \(|b|\) الأصغر يمدها (دورة أطول).
- إزاحة الطور \(\left(\tfrac{c}{b}\right)\)
- الإزاحة الأفقية للمنحنى. القيمة الموجبة تنقل الرسم البياني إلى اليمين، والقيمة السالبة إلى اليسار. لاحظ أنها \(c/b\)، وليس فقط \(c\).
- الإزاحة العمودية / الخط الوسيط \((d)\)
- الخط الأفقي \(y = d\) الذي تتذبذب الموجة حوله. يتحرك الرسم البياني لأعلى عندما \(d>0\) ولأسفل عندما \(d<0\).
- التردد \(\left(\tfrac{|b|}{2\pi}\right)\)
- عدد الدورات الكاملة لكل وحدة من \(x\)؛ مقلوب الدورة. في السياقات الفيزيائية حيث \(x\) هو الزمن، يُقاس هذا بالدورات في الثانية (هرتز).
- التردد الزاوي \((b)\)
- المعامل على \(x\)، معبراً عنه بالراديان لكل وحدة من \(x\). يرتبط بالتردد العادي بـ \(b = 2\pi f\) ويحدد مدى سرعة تقدم محتوى دالة الجيب.
- المعاملات \(a, b, c, d\)
- في \(y = a\sin(bx - c)+d\): \(a\) يحدد التمدد العمودي والسعة، \(b\) يحدد الضغط الأفقي (الدورة/التردد)، \(c\) يتحكم في الإزاحة الأفقية للطور من خلال \(c/b\)، و \(d\) يحدد الموضع العمودي للخط الوسيط.
أمثلة عملية إضافية
مثال 1: \(y = -4\cos(2x + \pi) + 1\)
على الرغم من كتابته بجيب التمام، تنطبق عليه نفس قواعد التحويل. طابقه مع \(a\cos(bx - c)+d\) بإعادة صيغة \(2x+\pi\) على أنها \(2x-(-\pi)\)، بحيث \(a=-4,\ b=2,\ c=-\pi,\ d=1\).
- السعة: \(|a| = |-4| = 4\). الإشارة السالبة تعكس المنحنى ولكن السعة تساوي 4.
- الدورة: \(\dfrac{2\pi}{|b|} = \dfrac{2\pi}{2} = \pi\).
- إزاحة الطور: \(\dfrac{c}{b} = \dfrac{-\pi}{2} = -\dfrac{\pi}{2}\)، أي \(\tfrac{\pi}{2}\) إلى اليسار.
- الإزاحة العمودية: \(d = 1\)؛ الخط الوسيط هو \(y = 1\).
مثال 2: \(y = 2\sin(0.5x - 1.5) - 3\)
هنا \(a=2,\ b=0.5,\ c=1.5,\ d=-3\).
- السعة: \(|a| = 2\).
- الدورة: \(\dfrac{2\pi}{0.5} = 4\pi \approx 12.566\).
- إزاحة الطور: \(\dfrac{1.5}{0.5} = 3\) إلى اليمين.
- الإزاحة العمودية: \(d = -3\)؛ الخط الوسيط هو \(y = -3\).
مثال 3: \(y = \tfrac{3}{4}\sin(3x - \tfrac{\pi}{2})\)
حالة سعة كسرية مع \(a=\tfrac34,\ b=3,\ c=\tfrac{\pi}{2},\ d=0\).
- السعة: \(|a| = \tfrac34 = 0.75\).
- الدورة: \(\dfrac{2\pi}{3} \approx 2.094\).
- إزاحة الطور: \(\dfrac{\pi/2}{3} = \dfrac{\pi}{6} \approx 0.524\) إلى اليمين.
- الإزاحة العمودية: \(d = 0\)؛ الخط الوسيط هو المحور \(x\).
يمكنك تأكيد قيمة مخرجات واحدة لهذا المنحنى — على سبيل المثال عند \(x=\tfrac{\pi}{2}\)، \(y = \tfrac34\sin(3\cdot\tfrac{\pi}{2} - \tfrac{\pi}{2}) = \tfrac34\sin(\pi) = \)0.
الأسئلة الشائعة
هل تعمل الحاسبة مع دالة جيب التمام (cosine)؟ نعم. تُحسب السعة والدورة والإزاحة الطورية والإزاحة الرأسية بالطريقة نفسها للدالة \(y = a\cdot\cos(bx - c) + d\).
لماذا تكون الإزاحة الطورية موجبة عندما تكون c موجبة؟ في الصيغة \(bx - c\)، تحرّك الإزاحة \(\frac{c}{b}\) الرسم البياني إلى اليمين. وإذا كانت الدالة مكتوبة على الصورة \(bx + c\)، فأدخل قيمة c كعدد سالب.
ماذا لو كانت قيمة b تساوي 0؟ الدورة التي تساوي 0 غير معرّفة لأي موجة، لذلك تُعيد الحاسبة القيمة 0 لتجنّب القسمة على صفر — تحقّق من المعامل لديك.
