這個計算機能做什麼
這個工具可以分析任何寫成標準式 \(y = a\cdot\sin(bx - c) + d\) 的正弦函數（餘弦函數的算法完全相同）。只要輸入 a、b、c、d 四個係數，它就會立刻算出這條波形的四大變換：振幅、週期、相位移與垂直位移，並一併附上頻率。
使用方法
請依照函數中出現的數值，原樣輸入各個係數。舉例來說，若函數為 \(y = 2\cdot\sin(3x - 1)\)，則設定 a = 2、b = 3、c = 1、d = 0。計算機支援負數與小數。如果你的函數寫成 \(a\cdot\sin(b(x - h))\) 的形式，只要先展開，讓 \(c = b\cdot h\)，再輸入即可。
公式解析
振幅為 \(|a|\)，也就是曲線從中線往上或往下擺動的最大距離。週期為 \(\frac{2\pi}{|b|}\)，即一個完整週期在水平方向上的長度——\(|b|\) 越大，波形就被壓得越緊。相位移為 \(\frac{c}{b}\)，表示圖形在水平方向的位移（正值代表圖形向右移）。垂直位移 \(d\) 則讓中線整體上移或下移。頻率就是週期的倒數。
範例演算
以 \(y = 2\cdot\sin(3x - 1)\) 為例： $$\text{振幅} = |2| = 2$$ $$\text{週期} = \frac{2\pi}{3} \approx 2.0944$$ $$\text{相位移} = \frac{1}{3} \approx 0.3333 \,(\text{向右})$$ $$\text{垂直位移} = 0$$ 也就是說，這條波形以 x 軸為中線上下擺動 2 個單位，每隔約 2.09 個單位完成一個週期，並向右平移約三分之一個單位。
關鍵術語定義
- 振幅 \((|a|)\)
- 波的最大值和最小值之間垂直距離的一半——峰值相對於中線的高度。它始終等於 \(a\) 的絕對值；負的 \(a\) 會反射曲線跨越中線，但不改變振幅。
- 週期 \(\left(\tfrac{2\pi}{|b|}\right)\)
- 一個完整週期的水平長度。較大的 \(|b|\) 會壓縮波（週期更短）；較小的 \(|b|\) 會拉伸它（週期更長）。
- 相位偏移 \(\left(\tfrac{c}{b}\right)\)
- 曲線的水平位移。正值將圖形向右移，負值向左移。注意它是 \(c/b\)，而不是只有 \(c\)。
- 垂直偏移 / 中線 \((d)\)
- 水平線 \(y = d\)，波圍繞其振蕩。當 \(d>0\) 時圖形向上移動，當 \(d<0\) 時向下移動。
- 頻率 \(\left(\tfrac{|b|}{2\pi}\right)\)
- \(x\) 每單位的完整週期數；週期的倒數。在 \(x\) 為時間的物理環境中，以每秒週期數（赫茲）測量。
- 角頻率 \((b)\)
- \(x\) 上的係數，以每單位 \(x\) 的弧度表示。它通過 \(b = 2\pi f\) 與普通頻率相關，並確定正弦的引數推進的速度。
- 係數 \(a, b, c, d\)
- 在 \(y = a\sin(bx - c)+d\) 中：\(a\) 設定垂直拉伸和振幅，\(b\) 設定水平壓縮（週期/頻率），\(c\) 通過 \(c/b\) 控制水平相位偏移，\(d\) 設定中線的垂直位置。
更多已解決的例子
例子 1：\(y = -4\cos(2x + \pi) + 1\)
儘管用餘弦編寫，相同的轉換規則適用。通過將 \(2x+\pi\) 改寫為 \(2x-(-\pi)\) 將其與 \(a\cos(bx - c)+d\) 匹配，因此 \(a=-4,\ b=2,\ c=-\pi,\ d=1\)。
- 振幅： \(|a| = |-4| = 4\)。負號反射曲線，但振幅為 4。
- 週期： \(\dfrac{2\pi}{|b|} = \dfrac{2\pi}{2} = \pi\)。
- 相位偏移： \(\dfrac{c}{b} = \dfrac{-\pi}{2} = -\dfrac{\pi}{2}\)，即向左 \(\tfrac{\pi}{2}\)。
- 垂直偏移： \(d = 1\)；中線為 \(y = 1\)。
例子 2：\(y = 2\sin(0.5x - 1.5) - 3\)
這裡 \(a=2,\ b=0.5,\ c=1.5,\ d=-3\)。
- 振幅： \(|a| = 2\)。
- 週期： \(\dfrac{2\pi}{0.5} = 4\pi \approx 12.566\)。
- 相位偏移： \(\dfrac{1.5}{0.5} = 3\) 向右。
- 垂直偏移： \(d = -3\)；中線為 \(y = -3\)。
例子 3：\(y = \tfrac{3}{4}\sin(3x - \tfrac{\pi}{2})\)
一個分數振幅情況，其中 \(a=\tfrac34,\ b=3,\ c=\tfrac{\pi}{2},\ d=0\)。
- 振幅： \(|a| = \tfrac34 = 0.75\)。
- 週期： \(\dfrac{2\pi}{3} \approx 2.094\)。
- 相位偏移： \(\dfrac{\pi/2}{3} = \dfrac{\pi}{6} \approx 0.524\) 向右。
- 垂直偏移： \(d = 0\)；中線為 \(x\) 軸。
您可以確認此曲線的單一輸出值——例如在 \(x=\tfrac{\pi}{2}\) 時，\(y = \tfrac34\sin(3\cdot\tfrac{\pi}{2} - \tfrac{\pi}{2}) = \tfrac34\sin(\pi) = \)0。
常見問題
餘弦函數也適用嗎？適用。對於 \(y = a\cdot\cos(bx - c) + d\)，振幅、週期、相位移與垂直位移的算法完全相同。
為什麼 c 是正值時，相位移也是正值？在 \(bx - c\) 這種寫法下，位移量 \(\frac{c}{b}\) 會讓圖形向右移。如果你的函數是 \(bx + c\) 的形式，請把 c 輸入為負數。
如果 b 等於 0 會怎樣？對波形而言，週期為 0 沒有意義，因此為了避免除以零，計算機會傳回 0——這時請檢查一下你的係數是否正確。
