這個計算器能做什麼
本工具可分析任何寫成標準式 \(y = A\cdot\sin(Bx + C) + D\) 的正弦型函數（餘弦函數同樣適用）。只要輸入四個係數，就能算出振幅、週期、頻率、水平相位平移與垂直中線——這些正是繪製波形或描述一條波所需的關鍵特徵。
使用方法
依序輸入係數 A（乘在三角函數外的倍率）、B（乘在函數內 x 前的係數）、C（函數內所加的常數）以及 D（函數外所加的常數）。若函數沒有任何平移，C 與 D 直接填 0 即可。按下計算，五項特徵一次呈現。
公式詳解
振幅為 \(|A|\)，代表曲線在中線上下擺動的最大距離。週期 $$T = \frac{2\pi}{|B|}$$ 是一個完整波形所佔的水平長度；頻率 $$f = \frac{|B|}{2\pi}$$ 則表示每單位 x 內出現幾個週期——兩者互為倒數。相位平移等於 \(-\frac{C}{B}\)（正值代表向右平移）。中線是波形上下振盪所環繞的水平線 \(y = D\)。
範例演算
以 \(y = 3\cdot\sin(2x)\) 為例：A = 3、B = 2、C = 0、D = 0。振幅 = \(|3| = 3\)。週期 = \(\frac{2\pi}{|2|} = \pi \approx 3.1416\)。頻率 = \(\frac{|2|}{2\pi} = \frac{1}{\pi} \approx 0.31831\)。相位平移 = \(-\frac{0}{2} = 0\)。中線 = 0。因此這條波會在 −3 與 3 之間擺動，每隔 \(\pi\) 單位完成一個週期。
更多已解答的例子
對於任何形式為 \(y = A\sin(Bx + C) + D\) 的正弦函數（餘弦函數的運作方式完全相同），五個關鍵量是振幅 \(|A|\)、週期 \(T = \dfrac{2\pi}{|B|}\)、頻率 \(f = \dfrac{|B|}{2\pi}\)、相位移動 \(-\dfrac{C}{B}\) 和中線 \(y = D\)。
例子 1 — 餘弦函數：\(y = 3\cos(2x)\)
此處 \(A = 3\)、\(B = 2\)、\(C = 0\)、\(D = 0\)。
- 振幅： \(|A| = |3| = 3\)。
- 週期： \(T = \dfrac{2\pi}{|B|} = \dfrac{2\pi}{2} = \)\(\pi\)。
- 頻率： \(f = \dfrac{|B|}{2\pi} = \dfrac{2}{2\pi} = \dfrac{1}{\pi} \approx 0.318\) 個單位週期。
- 相位移動： \(-\dfrac{C}{B} = -\dfrac{0}{2} = 0\)（無水平移動）。
- 中線： \(y = D = 0\)。
圖形是在 \(-3\) 到 \(3\) 之間振盪的餘弦波，每 \(\pi\) 個單位完成一個週期。
例子 2 — 相位移動和中線：\(y = 2\sin\!\left(3x + \dfrac{\pi}{2}\right) + 4\)
此處 \(A = 2\)、\(B = 3\)、\(C = \dfrac{\pi}{2}\)、\(D = 4\)。
- 振幅： \(|A| = 2\)。
- 週期： \(T = \dfrac{2\pi}{|B|} = \dfrac{2\pi}{3} \approx 2.094\)。
- 頻率： \(f = \dfrac{|B|}{2\pi} = \dfrac{3}{2\pi} \approx 0.477\)。
- 相位移動： \(-\dfrac{C}{B} = -\dfrac{\pi/2}{3} = -\dfrac{\pi}{6} \approx -0.524\)（向左平移 \(\tfrac{\pi}{6}\)）。
- 中線： \(y = D = 4\)；波在 \(4-2 = 2\) 和 \(4+2 = 6\) 之間振盪。
定義和詞彙表
- 係數 A（垂直縮放）
- 乘以正弦或餘弦的數字。其絕對值決定了波的高度；負的 \(A\) 也會將曲線沿中線反射。
- 振幅 \(|A|\)
- 從中線到峰值（或谷值）的最大距離，始終為非負數：\(\text{振幅} = |A|\)。曲線的範圍從 \(D-|A|\) 到 \(D+|A|\)。
- 係數 B（角頻率）
- 三角函數內部乘以 \(x\) 的數字。較大的 \(|B|\) 會水平壓縮波，每個單位產生更多週期。
- 週期 \(T = \dfrac{2\pi}{|B|}\)
- 一個完整週期的水平長度。它只取決於 \(|B|\)，不取決於 \(A\)、\(C\) 或 \(D\)。
- 頻率 \(f = \dfrac{|B|}{2\pi} = \dfrac{1}{T}\)
- \(x\) 每單位的完整週期數 — 週期的倒數。
- 係數 C（相位項）
- 加在三角函數參數內的常數。與 \(B\) 結合，它決定了波的水平位移。
- 相位移動 \(-\dfrac{C}{B}\)
- 曲線水平移動的距離。正結果向右移動；負結果向左移動。（分解 \(Bx + C = B(x + C/B)\) 會顯示移動。）
- 係數 D（垂直移動）
- 在三角函數外加上的常數，使整個波上升或下降。
- 中線 \(y = D\)
- 波環繞其振盪的水平線，位於最大值和最小值之間的中點。
常見問題
餘弦函數也適用嗎？適用。正弦與餘弦的振幅、週期、頻率公式完全相同，差別只在於起始位置不同。
如果 B 是負數呢？週期與頻率都取 \(|B|\)，所以負的 B 得到的週期一樣——它只是讓圖形在水平方向上鏡射翻轉而已。
相位平移為什麼是 \(-\frac{C}{B}\)，而不是 C？把 \(Bx + C\) 提出因式寫成 \(B(x + \frac{C}{B})\)，就能看出水平方向的平移量是 \(-\frac{C}{B}\)，而非原本的常數 C。
