Qué hace esta calculadora
Esta herramienta analiza cualquier función sinusoidal expresada en la forma estándar \(y = A\cdot\operatorname{sen}(Bx + C) + D\) (las mismas reglas valen para el coseno). A partir de los cuatro coeficientes obtiene la amplitud, el periodo, la frecuencia, el desfase horizontal y la línea media vertical: las características esenciales para representar o describir una onda.
Cómo usarla
Introduce el coeficiente A (multiplica a la función trigonométrica), B (multiplica a x dentro de la función), C (la constante que se suma dentro) y D (la constante que se suma fuera). Deja C y D en 0 si tu función no tiene desplazamientos. Pulsa calcular para ver las cinco características.
Las fórmulas explicadas
La amplitud es \(|A|\), la distancia máxima a la que la curva sube o baja respecto de su línea media. El periodo $$T = \frac{2\pi}{|B|}$$ es la longitud horizontal de un ciclo completo, y la frecuencia $$f = \frac{|B|}{2\pi}$$ indica cuántos ciclos ocurren por cada unidad de x: ambos son recíprocos. El desfase es igual a \(-\frac{C}{B}\) (un valor positivo significa un desplazamiento hacia la derecha). La línea media es la recta horizontal \(y = D\) en torno a la cual oscila la onda.
Ejemplo resuelto
Para \(y = 3\cdot\operatorname{sen}(2x)\): \(A = 3\), \(B = 2\), \(C = 0\), \(D = 0\). Amplitud \(= |3| = 3\). $$\text{Periodo} = \frac{2\pi}{|2|} = \pi \approx 3{,}1416$$ $$\text{Frecuencia} = \frac{|2|}{2\pi} = \frac{1}{\pi} \approx 0{,}31831$$ Desfase \(= -\frac{0}{2} = 0\). Línea media \(= 0\). Así, esta onda oscila entre \(-3\) y \(3\) y completa un ciclo cada \(\pi\) unidades.
Más ejemplos resueltos
Para cualquier sinusoide escrita como \(y = A\sin(Bx + C) + D\) (una función coseno funciona de forma idéntica), las cinco cantidades clave son amplitud \(|A|\), período \(T = \dfrac{2\pi}{|B|}\), frecuencia \(f = \dfrac{|B|}{2\pi}\), desplazamiento de fase \(-\dfrac{C}{B}\), y línea media \(y = D\).
Ejemplo 1 — Una función coseno: \(y = 3\cos(2x)\)
Aquí \(A = 3\), \(B = 2\), \(C = 0\), \(D = 0\).
- Amplitud: \(|A| = |3| = 3\).
- Período: \(T = \dfrac{2\pi}{|B|} = \dfrac{2\pi}{2} = \)\(\pi\).
- Frecuencia: \(f = \dfrac{|B|}{2\pi} = \dfrac{2}{2\pi} = \dfrac{1}{\pi} \approx 0,318\) ciclos por unidad.
- Desplazamiento de fase: \(-\dfrac{C}{B} = -\dfrac{0}{2} = 0\) (sin desplazamiento horizontal).
- Línea media: \(y = D = 0\).
La gráfica es una función coseno que oscila entre \(-3\) y \(3\), completando un ciclo cada \(\pi\) unidades.
Ejemplo 2 — Desplazamiento de fase y línea media: \(y = 2\sin\!\left(3x + \dfrac{\pi}{2}\right) + 4\)
Aquí \(A = 2\), \(B = 3\), \(C = \dfrac{\pi}{2}\), \(D = 4\).
- Amplitud: \(|A| = 2\).
- Período: \(T = \dfrac{2\pi}{|B|} = \dfrac{2\pi}{3} \approx 2,094\).
- Frecuencia: \(f = \dfrac{|B|}{2\pi} = \dfrac{3}{2\pi} \approx 0,477\).
- Desplazamiento de fase: \(-\dfrac{C}{B} = -\dfrac{\pi/2}{3} = -\dfrac{\pi}{6} \approx -0,524\) (desplazado hacia la izquierda por \(\tfrac{\pi}{6}\)).
- Línea media: \(y = D = 4\); la onda oscila entre \(4-2 = 2\) y \(4+2 = 6\).
Definiciones y glosario
- Coeficiente A (expansión vertical)
- El número que multiplica el seno o coseno. Su valor absoluto establece cuán alta es la onda; un \(A\) negativo también refleja la curva a través de la línea media.
- Amplitud \(|A|\)
- La distancia máxima desde la línea media hasta un pico (o valle), siempre no negativa: \(\text{amplitud} = |A|\). La curva va desde \(D-|A|\) hasta \(D+|A|\).
- Coeficiente B (frecuencia angular)
- El número que multiplica a \(x\) dentro de la función trigonométrica. Un \(|B|\) más grande comprime la onda horizontalmente, produciendo más ciclos por unidad.
- Período \(T = \dfrac{2\pi}{|B|}\)
- La longitud horizontal de un ciclo completo. Depende solo de \(|B|\), no de \(A\), \(C\) o \(D\).
- Frecuencia \(f = \dfrac{|B|}{2\pi} = \dfrac{1}{T}\)
- El número de ciclos completos por unidad de \(x\) — el recíproco del período.
- Coeficiente C (término de fase)
- La constante sumada dentro del argumento trigonométrico. Combinada con \(B\) determina el desplazamiento horizontal de la onda.
- Desplazamiento de fase \(-\dfrac{C}{B}\)
- Cuánto se desplaza la curva horizontalmente. Un resultado positivo desplaza hacia la derecha; un resultado negativo desplaza hacia la izquierda. (Factorizar \(Bx + C = B(x + C/B)\) revela el desplazamiento.)
- Coeficiente D (desplazamiento vertical)
- La constante sumada fuera de la función trigonométrica, elevando o bajando toda la onda.
- Línea media \(y = D\)
- La línea horizontal alrededor de la cual oscila la onda, ubicada a mitad de camino entre los valores máximo y mínimo.
Preguntas frecuentes
¿Funciona con funciones coseno? Sí. Las fórmulas de amplitud, periodo y frecuencia son idénticas para el seno y el coseno; solo cambia el punto de partida.
¿Y si B es negativo? El periodo y la frecuencia usan \(|B|\), por lo que un B negativo da el mismo periodo: simplemente refleja la gráfica horizontalmente.
¿Por qué el desfase es \(-\frac{C}{B}\) y no C? Al factorizar \(Bx + C = B\left(x + \frac{C}{B}\right)\) se ve que la traslación horizontal es \(-\frac{C}{B}\), no la constante C tal cual.
