Công Cụ Này Làm Được Gì
Công cụ này phân tích mọi hàm dạng sin viết theo dạng chuẩn \(y = A\sin(Bx + C) + D\) (quy tắc tương tự cũng áp dụng cho hàm cosin). Từ bốn hệ số, nó rút ra biên độ, chu kỳ, tần số, độ dịch pha theo phương ngang và đường trung bình theo phương dọc — những đặc trưng quan trọng để bạn vẽ đồ thị hoặc mô tả một sóng.
Cách Sử Dụng
Nhập hệ số A (nhân với hàm lượng giác), B (nhân với x bên trong hàm), C (hằng số cộng bên trong) và D (hằng số cộng bên ngoài). Hãy để C và D bằng 0 nếu hàm của bạn không có phép dịch chuyển. Bấm tính toán để xem cả năm đặc trưng.
Giải Thích Các Công Thức
Biên độ là \(|A|\), tức khoảng cách lớn nhất mà đường cong dâng lên hoặc hạ xuống so với đường trung bình. Chu kỳ $$T = \frac{2\pi}{|B|}$$ là độ dài theo phương ngang của một chu trình trọn vẹn, còn tần số $$f = \frac{|B|}{2\pi}$$ cho biết có bao nhiêu chu trình xảy ra trên mỗi đơn vị x — hai đại lượng này nghịch đảo của nhau. Độ dịch pha bằng \(-\frac{C}{B}\) (giá trị dương nghĩa là dịch sang phải). Đường trung bình là đường nằm ngang \(y = D\) mà sóng dao động quanh nó.
Ví Dụ Minh Họa
Với \(y = 3\sin(2x)\): A = 3, B = 2, C = 0, D = 0. Biên độ = \(|3| = 3\). Chu kỳ = \(\frac{2\pi}{|2|} = \pi \approx 3{,}1416\). Tần số = \(\frac{|2|}{2\pi} = \frac{1}{\pi} \approx 0{,}31831\). Độ dịch pha = \(-\frac{0}{2} = 0\). Đường trung bình = 0. Vậy sóng này dao động giữa −3 và 3, hoàn thành một chu trình sau mỗi \(\pi\) đơn vị.
Ví dụ được giải chi tiết hơn
Đối với bất kỳ hàm lượng giác hình sin nào được viết dưới dạng \(y = A\sin(Bx + C) + D\) (hàm cosin hoạt động giống hệt nhau), năm đại lượng chính là biên độ \(|A|\), chu kỳ \(T = \dfrac{2\pi}{|B|}\), tần số \(f = \dfrac{|B|}{2\pi}\), độ dịch pha \(-\dfrac{C}{B}\), và đường trung bình \(y = D\).
Ví dụ 1 — Hàm cosin: \(y = 3\cos(2x)\)
Ở đây \(A = 3\), \(B = 2\), \(C = 0\), \(D = 0\).
- Biên độ: \(|A| = |3| = 3\).
- Chu kỳ: \(T = \dfrac{2\pi}{|B|} = \dfrac{2\pi}{2} = \)\(\pi\).
- Tần số: \(f = \dfrac{|B|}{2\pi} = \dfrac{2}{2\pi} = \dfrac{1}{\pi} \approx 0.318\) chu kỳ trên một đơn vị.
- Độ dịch pha: \(-\dfrac{C}{B} = -\dfrac{0}{2} = 0\) (không dịch ngang).
- Đường trung bình: \(y = D = 0\).
Đồ thị là một hàm cosin dao động giữa \(-3\) và \(3\), hoàn thành một chu kỳ sau mỗi \(\pi\) đơn vị.
Ví dụ 2 — Độ dịch pha và đường trung bình: \(y = 2\sin\!\left(3x + \dfrac{\pi}{2}\right) + 4\)
Ở đây \(A = 2\), \(B = 3\), \(C = \dfrac{\pi}{2}\), \(D = 4\).
- Biên độ: \(|A| = 2\).
- Chu kỳ: \(T = \dfrac{2\pi}{|B|} = \dfrac{2\pi}{3} \approx 2.094\).
- Tần số: \(f = \dfrac{|B|}{2\pi} = \dfrac{3}{2\pi} \approx 0.477\).
- Độ dịch pha: \(-\dfrac{C}{B} = -\dfrac{\pi/2}{3} = -\dfrac{\pi}{6} \approx -0.524\) (dịch trái \(\tfrac{\pi}{6}\)).
- Đường trung bình: \(y = D = 4\); sóng dao động giữa \(4-2 = 2\) và \(4+2 = 6\).
Định nghĩa và Bảng thuật ngữ
- Hệ số A (kéo dãn theo chiều dọc)
- Số nhân với sin hoặc cosin. Giá trị tuyệt đối của nó xác định chiều cao của sóng; một \(A\) âm cũng phản chiếu đường cong qua đường trung bình.
- Biên độ \(|A|\)
- Khoảng cách cực đại từ đường trung bình đến một đỉnh (hoặc đáy), luôn không âm: \(\text{biên độ} = |A|\). Đường cong nằm trong khoảng từ \(D-|A|\) đến \(D+|A|\).
- Hệ số B (tần số góc)
- Số nhân với \(x\) bên trong hàm lượng giác. Một \(|B|\) lớn hơn nén sóng theo chiều ngang, tạo ra nhiều chu kỳ hơn trên một đơn vị.
- Chu kỳ \(T = \dfrac{2\pi}{|B|}\)
- Độ dài ngang của một chu kỳ hoàn chỉnh. Nó chỉ phụ thuộc vào \(|B|\), không phụ thuộc vào \(A\), \(C\), hoặc \(D\).
- Tần số \(f = \dfrac{|B|}{2\pi} = \dfrac{1}{T}\)
- Số chu kỳ hoàn chỉnh trên một đơn vị của \(x\) — nghịch đảo của chu kỳ.
- Hệ số C (số hạng pha)
- Hằng số cộng bên trong đối số hàm lượng giác. Kết hợp với \(B\), nó xác định độ dịch ngang của sóng.
- Độ dịch pha \(-\dfrac{C}{B}\)
- Khoảng cách mà đường cong dịch chuyển theo chiều ngang. Kết quả dương dịch sang phải; kết quả âm dịch sang trái. (Phân tích \(Bx + C = B(x + C/B)\) tiết lộ sự dịch chuyển.)
- Hệ số D (dịch chuyển theo chiều dọc)
- Hằng số cộng bên ngoài hàm lượng giác, nâng hoặc hạ toàn bộ sóng.
- Đường trung bình \(y = D\)
- Đường ngang mà sóng dao động xung quanh, nằm ở giữa các giá trị cực đại và cực tiểu.
Câu Hỏi Thường Gặp
Công cụ này có dùng được cho hàm cosin không? Có. Công thức tính biên độ, chu kỳ và tần số là giống hệt nhau cho cả sin và cosin; chỉ khác nhau ở điểm xuất phát.
Nếu B âm thì sao? Chu kỳ và tần số đều dùng \(|B|\), nên B âm vẫn cho cùng một chu kỳ — nó chỉ làm đồ thị bị phản chiếu theo phương ngang.
Tại sao độ dịch pha là \(-\frac{C}{B}\) mà không phải C? Khi phân tích \(Bx + C = B(x + \frac{C}{B})\), ta thấy phép tịnh tiến ngang là \(-\frac{C}{B}\), chứ không phải hằng số C thô.
