Что делает этот калькулятор

Этот инструмент разбирает любую синусоидальную функцию, записанную в стандартном виде $y = A\cdot\sin(Bx + C) + D$ (для косинуса действуют те же правила). По четырём коэффициентам он вычисляет амплитуду, период, частоту, горизонтальный сдвиг фазы и среднюю линию — главные характеристики, которые нужны, чтобы построить график волны или описать её.

Как им пользоваться

Введите коэффициент A (множитель перед тригонометрической функцией), B (множитель при x внутри функции), C (постоянное слагаемое внутри) и D (постоянное слагаемое снаружи). Если в вашей функции нет сдвигов, оставьте C и D равными 0. Нажмите «Рассчитать», и калькулятор покажет все пять характеристик.

Разбор формул

Амплитуда равна $|A|$ — это наибольшее расстояние, на которое кривая поднимается над средней линией или опускается ниже неё. Период $$T = \frac{2\pi}{|B|}$$ это длина одного полного цикла вдоль оси x, а частота $$f = \frac{|B|}{2\pi}$$ показывает, сколько циклов укладывается на единицу x; период и частота — взаимно обратные величины. Сдвиг фазы равен $-\frac{C}{B}$ (положительное значение означает сдвиг вправо). Средняя линия — это горизонтальная прямая $y = D$, относительно которой колеблется волна.

Синусоида с обозначением амплитуды, периода, средней линии и сдвига фазы — Основные параметры $y = A\cdot\sin(Bx + C) + D$ на синусоиде.

Разобранный пример

Для $y = 3\cdot\sin(2x)$: A = 3, B = 2, C = 0, D = 0. Амплитуда $$= |3| = 3.$$ Период $$= \frac{2\pi}{|2|} = \pi \approx 3{,}1416.$$ Частота $$= \frac{|2|}{2\pi} = \frac{1}{\pi} \approx 0{,}31831.$$ Сдвиг фазы $$= -\frac{0}{2} = 0.$$ Средняя линия = 0. Таким образом, эта волна колеблется между −3 и 3 и совершает полный цикл каждые $\pi$ единиц.

Две синусоиды со сравнением разных значений амплитуды и периода — Изменение A растягивает волну по вертикали; изменение B меняет частоту циклов.

Частые вопросы

Работает ли калькулятор с функциями косинуса? Да. Формулы амплитуды, периода и частоты для синуса и косинуса одинаковы — различается только начальная точка графика.

Что делать, если B отрицательное? В формулах периода и частоты используется $|B|$, поэтому отрицательное B даёт тот же период — он лишь зеркально отражает график по горизонтали.

Почему сдвиг фазы равен $-\frac{C}{B}$, а не C? Разложение $Bx + C = B(x + \frac{C}{B})$ показывает, что горизонтальный сдвиг составляет именно $-\frac{C}{B}$, а не само слагаемое C.

Больше решённых примеров

Для любого синусоида, записанного как $y = A\sin(Bx + C) + D$ (косинус работает идентично), пять ключевых величин — это амплитуда $|A|$, период $T = \dfrac{2\pi}{|B|}$, частота $f = \dfrac{|B|}{2\pi}$, фазовый сдвиг $-\dfrac{C}{B}$ и средняя линия $y = D$.

Пример 1 — Функция косинуса: $y = 3\cos(2x)$

Здесь $A = 3$, $B = 2$, $C = 0$, $D = 0$.

Амплитуда: $|A| = |3| = 3$.
Период: $T = \dfrac{2\pi}{|B|} = \dfrac{2\pi}{2} = $$\pi$.
Частота: $f = \dfrac{|B|}{2\pi} = \dfrac{2}{2\pi} = \dfrac{1}{\pi} \approx 0.318$ цикла в единицу.
Фазовый сдвиг: $-\dfrac{C}{B} = -\dfrac{0}{2} = 0$ (нет горизонтального смещения).
Средняя линия: $y = D = 0$.

График — это косинус, осциллирующий между $-3$ и $3$, завершающий один цикл каждые $\pi$ единиц.

Пример 2 — Фазовый сдвиг и средняя линия: $y = 2\sin\!\left(3x + \dfrac{\pi}{2}\right) + 4$

Здесь $A = 2$, $B = 3$, $C = \dfrac{\pi}{2}$, $D = 4$.

Амплитуда: $|A| = 2$.
Период: $T = \dfrac{2\pi}{|B|} = \dfrac{2\pi}{3} \approx 2.094$.
Частота: $f = \dfrac{|B|}{2\pi} = \dfrac{3}{2\pi} \approx 0.477$.
Фазовый сдвиг: $-\dfrac{C}{B} = -\dfrac{\pi/2}{3} = -\dfrac{\pi}{6} \approx -0.524$ (сдвинуто влево на $\tfrac{\pi}{6}$).
Средняя линия: $y = D = 4$; волна осциллирует между $4-2 = 2$ и $4+2 = 6$.

Определения и глоссарий

Коэффициент A (вертикальное растяжение): Число, на которое умножаются синус или косинус. Его абсолютное значение определяет высоту волны; отрицательное $A$ также отражает кривую относительно средней линии.
Амплитуда $|A|$: Максимальное расстояние от средней линии до пика (или впадины), всегда неотрицательное: $\text{амплитуда} = |A|$. Кривая колеблется от $D-|A|$ до $D+|A|$.
Коэффициент B (угловая частота): Число, на которое умножается $x$ внутри тригонометрической функции. Большее $|B|$ сжимает волну горизонтально, производя больше циклов в единицу.
Период $T = \dfrac{2\pi}{|B|}$: Горизонтальная длина одного полного цикла. Зависит только от $|B|$, а не от $A$, $C$ или $D$.
Частота $f = \dfrac{|B|}{2\pi} = \dfrac{1}{T}$: Количество полных циклов в единицу $x$ — величина, обратная периоду.
Коэффициент C (фазовый член): Константа, добавляемая внутри аргумента тригонометрической функции. В сочетании с $B$ она определяет горизонтальное смещение волны.
Фазовый сдвиг $-\dfrac{C}{B}$: Насколько кривая смещена горизонтально. Положительный результат сдвигает вправо; отрицательный результат сдвигает влево. (Разложение $Bx + C = B(x + C/B)$ выявляет сдвиг.)
Коэффициент D (вертикальный сдвиг): Константа, добавляемая вне тригонометрической функции, поднимающая или опускающая всю волну.
Средняя линия $y = D$: Горизонтальная линия, относительно которой колеблется волна, расположенная посередине между максимальным и минимальным значениями.

Калькулятор амплитуды, периода и частоты

Введите расчет

Математическая формула

Результатов