यह कैलकुलेटर क्या करता है

यह टूल मानक रूप $y = A\cdot\sin(Bx + C) + D$ में लिखे किसी भी ज्यावक्रीय (sinusoidal) फलन का विश्लेषण करता है (कोज्या यानी cosine पर भी यही नियम लागू होते हैं)। इन चार गुणांकों से यह आयाम (amplitude), आवर्तकाल (period), आवृत्ति (frequency), क्षैतिज कला विस्थापन (phase shift) और ऊर्ध्वाधर मध्यरेखा (midline) निकाल देता है — किसी तरंग का ग्राफ बनाने या उसका वर्णन करने के लिए ये सभी ज़रूरी विशेषताएँ हैं।

इसका उपयोग कैसे करें

गुणांक A दर्ज करें (जो त्रिकोणमितीय फलन से गुणा होता है), B (जो फलन के अंदर x से गुणा होता है), C (अंदर जोड़ा गया अचर) और D (बाहर जोड़ा गया अचर)। यदि आपके फलन में कोई विस्थापन नहीं है तो C और D को 0 ही रहने दें। सभी पाँच विशेषताएँ देखने के लिए "गणना करें" दबाएँ।

सूत्रों की व्याख्या

आयाम $|A|$ होता है — यह वह अधिकतम दूरी है जितनी ऊपर या नीचे वक्र अपनी मध्यरेखा से जाता है। आवर्तकाल $$T = \frac{2\pi}{|B|}$$ एक पूर्ण चक्र की क्षैतिज लंबाई है, और आवृत्ति $$f = \frac{|B|}{2\pi}$$ बताती है कि x के प्रति इकाई कितने चक्र पूरे होते हैं — ये दोनों एक-दूसरे के व्युत्क्रम (reciprocal) हैं। कला विस्थापन $-\frac{C}{B}$ के बराबर होता है (धनात्मक मान का अर्थ है दाईं ओर खिसकना)। मध्यरेखा वह क्षैतिज रेखा $y = D$ है जिसके इर्द-गिर्द तरंग दोलन करती है।

आयाम, आवर्तकाल, मध्यरेखा और कला विस्थापन से अंकित साइन तरंग — साइन तरंग पर $y = A\cdot\sin(Bx + C) + D$ की मुख्य विशेषताएँ।

हल किया गया उदाहरण

$y = 3\cdot\sin(2x)$ के लिए: $A = 3$, $B = 2$, $C = 0$, $D = 0$। आयाम $$= |3| = 3$$ आवर्तकाल $$= \frac{2\pi}{|2|} = \pi \approx 3.1416$$ आवृत्ति $$= \frac{|2|}{2\pi} = \frac{1}{\pi} \approx 0.31831$$ कला विस्थापन $$= -\frac{0}{2} = 0$$ मध्यरेखा $= 0$। यानी यह तरंग $-3$ और $3$ के बीच झूलती है और हर $\pi$ इकाई पर एक चक्र पूरा करती है।

अलग-अलग आयाम और आवर्तकाल की तुलना करती दो साइन तरंगें — A बदलने पर तरंग ऊर्ध्वाधर रूप से खिंचती है; B बदलने पर चक्र की गति बदलती है।

अधिक कार्य के उदाहरण

किसी भी ज्या को $y = A\sin(Bx + C) + D$ के रूप में लिखा गया (एक कोज्या समान रूप से काम करता है), पाँच मुख्य राशियाँ आयाम $|A|$, आवर्त $T = \dfrac{2\pi}{|B|}$, आवृत्ति $f = \dfrac{|B|}{2\pi}$, कला बदलाव $-\dfrac{C}{B}$, और मध्य रेखा $y = D$ हैं।

उदाहरण 1 — एक कोज्या फलन: $y = 3\cos(2x)$

यहाँ $A = 3$, $B = 2$, $C = 0$, $D = 0$।

आयाम: $|A| = |3| = 3$।
आवर्त: $T = \dfrac{2\pi}{|B|} = \dfrac{2\pi}{2} = $$\pi$।
आवृत्ति: $f = \dfrac{|B|}{2\pi} = \dfrac{2}{2\pi} = \dfrac{1}{\pi} \approx 0.318$ प्रति इकाई चक्र।
कला बदलाव: $-\dfrac{C}{B} = -\dfrac{0}{2} = 0$ (कोई क्षैतिज बदलाव नहीं)।
मध्य रेखा: $y = D = 0$।

आलेख एक कोज्या है जो $-3$ और $3$ के बीच दोलन करता है, हर $\pi$ इकाई पर एक पूर्ण चक्र पूरा करता है।

उदाहरण 2 — कला बदलाव और मध्य रेखा: $y = 2\sin\!\left(3x + \dfrac{\pi}{2}\right) + 4$

यहाँ $A = 2$, $B = 3$, $C = \dfrac{\pi}{2}$, $D = 4$।

आयाम: $|A| = 2$।
आवर्त: $T = \dfrac{2\pi}{|B|} = \dfrac{2\pi}{3} \approx 2.094$।
आवृत्ति: $f = \dfrac{|B|}{2\pi} = \dfrac{3}{2\pi} \approx 0.477$।
कला बदलाव: $-\dfrac{C}{B} = -\dfrac{\pi/2}{3} = -\dfrac{\pi}{6} \approx -0.524$ (बाईं ओर $\tfrac{\pi}{6}$ द्वारा बदली गई)।
मध्य रेखा: $y = D = 4$; तरंग $4-2 = 2$ और $4+2 = 6$ के बीच दोलन करती है।

परिभाषाएँ और शब्दावली

गुणांक A (ऊर्ध्वाधर विस्तार): ज्या या कोज्या को गुणा करने वाली संख्या। इसका निरपेक्ष मान तय करता है कि तरंग कितनी ऊँची है; एक नकारात्मक $A$ मध्य रेखा के पार वक्र को प्रतिबिंबित भी करता है।
आयाम $|A|$: मध्य रेखा से शिखर (या गर्त) तक की अधिकतम दूरी, हमेशा गैर-नकारात्मक: $\text{आयाम} = |A|$। वक्र $D-|A|$ से $D+|A|$ तक विस्तृत है।
गुणांक B (कोणीय आवृत्ति): त्रिकोणमितीय फलन के अंदर $x$ को गुणा करने वाली संख्या। बड़ा $|B|$ तरंग को क्षैतिज रूप से संपीड़ित करता है, प्रति इकाई अधिक चक्र उत्पन्न करता है।
आवर्त $T = \dfrac{2\pi}{|B|}$: एक संपूर्ण चक्र की क्षैतिज लंबाई। यह केवल $|B|$ पर निर्भर करता है, $A$, $C$, या $D$ पर नहीं।
आवृत्ति $f = \dfrac{|B|}{2\pi} = \dfrac{1}{T}$: $x$ की प्रति इकाई संपूर्ण चक्रों की संख्या — आवर्त का व्युत्क्रम।
गुणांक C (कला पद): त्रिकोणमितीय तर्क के अंदर जोड़ी गई स्थिर संख्या। $B$ के साथ यह तरंग के क्षैतिज विस्थापन को निर्धारित करता है।
कला बदलाव $-\dfrac{C}{B}$: वक्र को क्षैतिज रूप से कितना बदला गया है। एक सकारात्मक परिणाम दाईं ओर बदलता है; एक नकारात्मक परिणाम बाईं ओर बदलता है। ($Bx + C = B(x + C/B)$ को गुणनखंड करने से बदलाव पता चलता है।)
गुणांक D (ऊर्ध्वाधर बदलाव): त्रिकोणमितीय फलन के बाहर जोड़ी गई स्थिर संख्या, संपूर्ण तरंग को ऊपर या नीचे करती है।
मध्य रेखा $y = D$: क्षैतिज रेखा जिसके चारों ओर तरंग दोलन करती है, अधिकतम और न्यूनतम मानों के बीच आधे में स्थित।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

क्या यह कोज्या (cosine) फलनों के लिए भी काम करता है? हाँ। आयाम, आवर्तकाल और आवृत्ति के सूत्र ज्या (sine) और कोज्या दोनों के लिए एक जैसे ही हैं; केवल आरंभिक बिंदु अलग होता है।

यदि B ऋणात्मक हो तो क्या होगा? आवर्तकाल और आवृत्ति में $|B|$ का उपयोग होता है, इसलिए ऋणात्मक B से वही आवर्तकाल मिलता है — बस ग्राफ क्षैतिज रूप से परावर्तित (mirror) हो जाता है।

कला विस्थापन $-\frac{C}{B}$ क्यों है, न कि सीधे C? $Bx + C = B\left(x + \frac{C}{B}\right)$ के रूप में गुणनखंडन करने पर पता चलता है कि क्षैतिज स्थानांतरण $-\frac{C}{B}$ है, न कि सीधा अचर C।

आयाम, आवर्तकाल और आवृत्ति कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

सूत्र (फॉर्मूला)

परिणाम