ماذا تفعل هذه الحاسبة
تحلّل هذه الأداة أي دالة جيبية مكتوبة بالصيغة القياسية \(y = A\sin(Bx + C) + D\) (وتنطبق القواعد نفسها على دالة جيب التمام). انطلاقًا من المعاملات الأربعة، تستخرج الحاسبة السعة والدور والتردد والإزاحة الطورية الأفقية وخط الوسط الرأسي — وهي الخصائص الأساسية التي تحتاجها لرسم الموجة أو وصفها.
طريقة الاستخدام
أدخِل المعامل A (الذي يضرب الدالة المثلثية)، وB (الذي يضرب x داخل الدالة)، وC (الثابت المضاف داخل الدالة)، وD (الثابت المضاف خارجها). اترك C و D بقيمة 0 إذا كانت دالتك خالية من أي إزاحات. ثم اضغط على زر الحساب لتظهر لك الخصائص الخمس جميعها.
شرح القوانين
السعة تساوي \(|A|\)، وهي أقصى مسافة يرتفعها المنحنى فوق خط الوسط أو ينخفضها تحته. أما الدور \(T = \frac{2\pi}{|B|}\) فهو الطول الأفقي لدورة كاملة واحدة، والتردد \(f = \frac{|B|}{2\pi}\) هو عدد الدورات التي تحدث لكل وحدة من x — وهما مقداران متعاكسان (مقلوب أحدهما الآخر). وتساوي الإزاحة الطورية القيمة \(-\frac{C}{B}\) (والقيمة الموجبة تعني إزاحة نحو اليمين). أما خط الوسط فهو الخط الأفقي \(y = D\) الذي تتذبذب الموجة حوله.
مثال محلول
لنأخذ الدالة \(y = 3\sin(2x)\): حيث \(A = 3\)، \(B = 2\)، \(C = 0\)، \(D = 0\). السعة \(= |3| = 3\). الدور $$\frac{2\pi}{|2|} = \pi \approx 3.1416$$ التردد $$\frac{|2|}{2\pi} = \frac{1}{\pi} \approx 0.31831$$ الإزاحة الطورية \(= -\frac{0}{2} = 0\). خط الوسط \(= 0\). إذن تتأرجح هذه الموجة بين \(-3\) و\(3\)، وتُكمل دورة واحدة كل \(\pi\) وحدة.
أمثلة عملية إضافية
لأي دالة جيبية مكتوبة على الشكل \(y = A\sin(Bx + C) + D\) (وتعمل دالة جيب التمام بطريقة متطابقة)، الكميات الخمس الرئيسية هي السعة \(|A|\)، والدورة \(T = \dfrac{2\pi}{|B|}\)، والتردد \(f = \dfrac{|B|}{2\pi}\)، والإزاحة الطورية \(-\dfrac{C}{B}\)، وخط المنتصف \(y = D\).
المثال 1 — دالة جيب التمام: \(y = 3\cos(2x)\)
هنا \(A = 3\), \(B = 2\), \(C = 0\), \(D = 0\).
- السعة: \(|A| = |3| = 3\).
- الدورة: \(T = \dfrac{2\pi}{|B|} = \dfrac{2\pi}{2} = \)\(\pi\).
- التردد: \(f = \dfrac{|B|}{2\pi} = \dfrac{2}{2\pi} = \dfrac{1}{\pi} \approx 0.318\) دورة لكل وحدة.
- الإزاحة الطورية: \(-\dfrac{C}{B} = -\dfrac{0}{2} = 0\) (لا توجد إزاحة أفقية).
- خط المنتصف: \(y = D = 0\).
الرسم البياني هو جيب تمام يتذبذب بين \(-3\) و \(3\)، ويكمل دورة واحدة كل \(\pi\) وحدات.
المثال 2 — الإزاحة الطورية وخط المنتصف: \(y = 2\sin\!\left(3x + \dfrac{\pi}{2}\right) + 4\)
هنا \(A = 2\), \(B = 3\), \(C = \dfrac{\pi}{2}\), \(D = 4\).
- السعة: \(|A| = 2\).
- الدورة: \(T = \dfrac{2\pi}{|B|} = \dfrac{2\pi}{3} \approx 2.094\).
- التردد: \(f = \dfrac{|B|}{2\pi} = \dfrac{3}{2\pi} \approx 0.477\).
- الإزاحة الطورية: \(-\dfrac{C}{B} = -\dfrac{\pi/2}{3} = -\dfrac{\pi}{6} \approx -0.524\) (إزاحة لليسار بمقدار \(\tfrac{\pi}{6}\)).
- خط المنتصف: \(y = D = 4\)؛ الموجة تتذبذب بين \(4-2 = 2\) و \(4+2 = 6\).
التعريفات والمسرد
- المعامل A (التمدد الرأسي)
- الرقم الذي يضرب الجيب أو جيب التمام. يحدد قيمته المطلقة ارتفاع الموجة؛ كما أن A السالب ينعكس المنحنى عبر خط المنتصف.
- السعة \(|A|\)
- المسافة القصوى من خط المنتصف إلى القمة (أو القاع)، وهي دائماً غير سالبة: \(\text{السعة} = |A|\). يتراوح المنحنى من \(D-|A|\) إلى \(D+|A|\).
- المعامل B (التردد الزاوي)
- الرقم الذي يضرب \(x\) داخل دالة المثلثات. يؤدي \(|B|\) الأكبر إلى ضغط الموجة أفقياً، مما ينتج عنه دورات أكثر لكل وحدة.
- الدورة \(T = \dfrac{2\pi}{|B|}\)
- الطول الأفقي لدورة واحدة كاملة. يعتمد فقط على \(|B|\)، وليس على \(A\) أو \(C\) أو \(D\).
- التردد \(f = \dfrac{|B|}{2\pi} = \dfrac{1}{T}\)
- عدد الدورات الكاملة لكل وحدة من \(x\) — مقلوب الدورة.
- المعامل C (الحد الطوري)
- الثابت المضاف داخل وسيط دالة المثلثات. مع \(B\) يحدد الإزاحة الأفقية للموجة.
- الإزاحة الطورية \(-\dfrac{C}{B}\)
- مدى الإزاحة الأفقية للمنحنى. تؤدي النتيجة الموجبة إلى إزاحة لليمين؛ تؤدي النتيجة السالبة إلى إزاحة لليسار. (تحليل \(Bx + C = B(x + C/B)\) يكشف الإزاحة.)
- المعامل D (الإزاحة الرأسية)
- الثابت المضاف خارج دالة المثلثات، يرفع أو يخفض الموجة بأكملها.
- خط المنتصف \(y = D\)
- الخط الأفقي الذي تتذبذب الموجة حوله، وموقعه في منتصف الطريق بين القيم العظمى والدنيا.
الأسئلة الشائعة
هل تعمل هذه الحاسبة مع دوال جيب التمام؟ نعم. قوانين السعة والدور والتردد متطابقة في الجيب وجيب التمام؛ والفرق الوحيد يكمن في نقطة البداية.
ماذا لو كانت قيمة B سالبة؟ يستخدم قانونا الدور والتردد القيمة المطلقة \(|B|\)، لذا تعطي القيمة السالبة لـ B الدور نفسه — وكل ما في الأمر أنها تعكس الرسم البياني أفقيًا.
لماذا تكون الإزاحة الطورية \(-\frac{C}{B}\) وليست C؟ عند إخراج العامل المشترك \(Bx + C = B(x + \frac{C}{B})\)، يتضح أن مقدار الانتقال الأفقي هو \(-\frac{C}{B}\) وليس الثابت C كما هو.
