ماذا تفعل هذه الحاسبة؟
تحسب هذه الأداة مساحة المثلث عندما تعرف إحداثيات زواياه الثلاث (رؤوسه) على المستوى الديكارتي. فبدلاً من قياس القاعدة والارتفاع، يكفي أن تُدخل كل نقطة على هيئة زوج إحداثيات (س، ص)، فتطبّق الحاسبة صيغة رباط الحذاء لتعطيك المساحة بدقة بالوحدات المربعة.
كيفية الاستخدام
أدخل إحداثيات الرؤوس الثلاثة: (س₁، ص₁) و(س₂، ص₂) و(س₃، ص₃)، ثم اضغط على زر الحساب لتظهر المساحة. تعرض النتيجة كذلك المساحة ذات الإشارة، وهي تدلّ على اتجاه ترتيب النقاط: القيمة الموجبة تعني أن الرؤوس مرتّبة عكس عقارب الساعة، والقيمة السالبة تعني أنها مرتّبة باتجاه عقارب الساعة، أما القيمة صفر فتعني أن النقاط الثلاث تقع على خط مستقيم واحد (مثلث منحلّ لا مساحة له).
شرح الصيغة
تحسب صيغة رباط الحذاء (أو صيغة غاوس للمساحة) المساحة عبر الضرب المتقاطع للإحداثيات في نمط متشابك، تمامًا كما تُربط خيوط الحذاء:
$$\text{المساحة} = \frac{1}{2}\left|\, x_1\left(y_2 - y_3\right) + x_2\left(y_3 - y_1\right) + x_3\left(y_1 - y_2\right) \right|$$
يربط كل حدّ إحداثي س لأحد الرؤوس بفرق قيمتي ص للرأسين المجاورين له. وعند جمع هذه الحدود وقسمتها على اثنين نحصل على ضعف المساحة الموجّهة؛ ثم بأخذ القيمة المطلقة نحصل على المساحة الهندسية مهما كان ترتيب النقاط.
مثال محلول
لنأخذ مثلثًا قائم الزاوية رؤوسه أ(0، 0) وب(4، 0) وج(0، 3). بالتعويض: $$\text{المساحة} = \frac{1}{2}\left|\,0(0-3) + 4(3-0) + 0(0-0)\right| = \frac{1}{2}\left|0 + 12 + 0\right| = \frac{1}{2} \times 12 = 6 \text{ وحدات مربعة}$$ وهذا يطابق القانون البسيط: \(\text{القاعدة} \times \text{الارتفاع} \div 2 = 4 \times 3 \div 2 = 6\)، مما يؤكد صحة الصيغة.
أمثلة عملية إضافية
يستخدم كل مثال صيغة الحذاء \(\text{المساحة} = \frac{1}{2}\left|\,x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)\right|\). التعبير داخل الأعمدة (قبل أخذ القيمة المطلقة) هو المساحة الموقعة؛ إشارتها تخبرك باتجاه الرؤوس.
المثال 1 — إحداثيات سالبة
الرؤوس \(A(-4,-2)\), \(B(1,-3)\), \(C(-1,4)\)، مدرجة بعكس اتجاه عقارب الساعة.
$$\begin{aligned}\text{المساحة} &= \tfrac12\left|\,(-4)(-3-4) + (1)(4-(-2)) + (-1)((-2)-(-3))\right|\\ &= \tfrac12\left|\,(-4)(-7) + (1)(6) + (-1)(1)\right|\\ &= \tfrac12\left|\,28 + 6 - 1\right| = \tfrac12(33)\end{aligned}$$
المساحة هي 16.5 وحدة مربعة. لأن القيمة الموقعة \(+33/2\) موجبة، فإن الرؤوس مرتبة بعكس اتجاه عقارب الساعة.
المثال 2 — إحداثيات عشرية
الرؤوس \(A(1.5,\,2.0)\), \(B(4.5,\,3.5)\), \(C(2.0,\,6.0)\).
$$\begin{aligned}\text{المساحة} &= \tfrac12\left|\,1.5(3.5-6.0) + 4.5(6.0-2.0) + 2.0(2.0-3.5)\right|\\ &= \tfrac12\left|\,1.5(-2.5) + 4.5(4.0) + 2.0(-1.5)\right|\\ &= \tfrac12\left|\,-3.75 + 18.0 - 3.0\right| = \tfrac12(11.25)\end{aligned}$$
المساحة هي 5.625 وحدة مربعة.
المثال 3 — ترتيب في اتجاه عقارب الساعة (مساحة موقعة سالبة)
خذ مثلثاً رؤوسه مدرجة في اتجاه عقارب الساعة: \(A(0,0)\), \(B(0,4)\), \(C(6,0)\).
$$\begin{aligned}\text{المساحة الموقعة} &= \tfrac12\left[\,0(4-0) + 0(0-0) + 6(0-4)\right]\\ &= \tfrac12\left[\,0 + 0 + 6(-4)\right] = \tfrac12(-24) = -12\end{aligned}$$
المساحة الموقعة هي \(-12\)، والإشارة السالبة تؤكد أن الرؤوس مرتبة في اتجاه عقارب الساعة. أخذ القيمة المطلقة يعطي المساحة الهندسية، 12 وحدة مربعة. بما أن هذا مثلث قائم الزاوية بأرجل 6 و 4، فإن نفس الإجابة تأتي من \(\tfrac12\,bh = \tfrac12(6)(4) = \) 12.
كيفية حسابها يدويًا
- أدرج الرؤوس بالترتيب. اكتب النقاط الثلاث كـ \((x_1,y_1)\), \((x_2,y_2)\), \((x_3,y_3)\)، بالذهاب حول المثلث في اتجاه واحد متسق (إما في اتجاه عقارب الساعة أو عكسها). الرأس الأول لا يهم، لكن الترتيب يهم.
- عوّض في حدود الحذاء. كون المنتجات الثلاثة \(x_1(y_2-y_3)\), \(x_2(y_3-y_1)\), و \(x_3(y_1-y_2)\). احسب كل قوس (فرق قيمتي \(y\)) أولاً، ثم اضرب في قيمة \(x\) المطابقة.
- جمع المنتجات. أضف الحدود الثلاثة معاً، محافظاً على جميع الإشارات:
\(S = x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)\). - اقسم على اثنين للحصول على المساحة الموقعة. احسب \(\dfrac{S}{2}\). هذا الرقم يمكن أن يكون موجباً أو سالباً — وهو المساحة الموقعة (الموجهة).
- خذ القيمة المطلقة للمساحة الهندسية. المساحة الفعلية للمثلث هي \(\left|\dfrac{S}{2}\right|\)، دائماً رقم غير سالب يُعبّر عنه بوحدات مربعة.
تفسير الإشارة: المساحة الموقعة الموجبة تعني أن الرؤوس مدرجة بعكس اتجاه عقارب الساعة؛ المساحة الموقعة السالبة تعني أنها مدرجة في اتجاه عقارب الساعة. إذا كانت \(S = 0\)، فإن النقاط الثلاث على خط واحد والمثلث منحل (مساحة صفر). المساحة الهندسية متطابقة بغض النظر عن الترتيب — فقط الإشارة قبل القيمة المطلقة تتغير.
التعريفات والمسرد
- رأس
- نقطة زاوية المثلث. المثلث له ثلاثة رؤوس، كل واحد معطى هنا كزوج إحداثيات \((x,y)\).
- زوج إحداثيات ديكارتي
- زوج مرتب \((x,y)\) يحدد موقع نقطة على مستوى، حيث \(x\) هي المسافة الأفقية و \(y\) هي المسافة الرأسية من الأصل \((0,0)\).
- المساحة الموقعة (الموجهة)
- القيمة \(\tfrac12\,S\) من صيغة الحذاء قبل أخذ القيمة المطلقة. مقدارها هو المساحة؛ إشارتها تشفّر الاتجاه الذي يتم فيه إدراج الرؤوس.
- الاتجاه (عكس عقارب الساعة / في اتجاه عقارب الساعة)
- الاتجاه الدوراني للرؤوس المدرجة. عكس اتجاه عقارب الساعة يعطي مساحة موقعة موجبة؛ في اتجاه عقارب الساعة يعطي مساحة موقعة سالبة.
- على خط واحد
- ثلاث نقاط أو أكثر تقع على خط مستقيم واحد. الرؤوس على خط واحد تنتج مجموع حذاء يساوي صفر.
- مثلث منحل
- مثلث تقع رؤوسه الثلاثة على خط واحد، لذلك ينهار إلى قطعة مستقيمة ومساحته صفر.
- وحدات مربعة
- وحدة المساحة، تساوي وحدة الإحداثيات مرفوعة للقوة الثانية (على سبيل المثال، إذا كانت الإحداثيات بالمتر، فإن المساحة بالمتر المربع، m\(^2\)).
الأسئلة الشائعة
هل يؤثر ترتيب النقاط في النتيجة؟ لا يؤثر في المساحة، لأن القيمة المطلقة تزيل أي إشارة. الترتيب يؤثر فقط في المساحة ذات الإشارة التي تدلّ على الاتجاه.
ماذا لو كانت المساحة صفرًا؟ هذا يعني أن النقاط الثلاث تقع على استقامة واحدة، فهي لا تشكّل مثلثًا حقيقيًا.
هل يمكنني استخدام إحداثيات سالبة أو عشرية؟ نعم. تعمل الصيغة مع أي إحداثيات من الأعداد الحقيقية، بما فيها السالبة والكسور العشرية.
