ما هو المثلث 30-60-90؟
المثلث 30-60-90 هو مثلث قائم الزاوية مميّز تبلغ قياسات زواياه الثلاث 30° و60° و90°. ولأن الزوايا ثابتة، فإن أطوال أضلاعه تتبع دائمًا النسبة الثابتة \(1 : \sqrt{3} : 2\). فالضلع الأقصر (الضلع القصير) يقابل الزاوية 30°، والضلع الطويل يقابل الزاوية 60°، أما الوتر — وهو أطول الأضلاع — فيقابل الزاوية القائمة. هذه البنية المتوقعة تجعل هذا المثلث مفضّلًا في الهندسة وحساب المثلثات والرسم الهندسي وأعمال البناء.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل طول الضلع القصير (الضلع المقابل للزاوية 30°) بأي وحدة قياس تريدها. تعرض الحاسبة على الفور المساحة بالوحدات المربّعة، إلى جانب الضلع الطويل والوتر والمحيط الكامل، لتحصل على وصف كامل للمثلث انطلاقًا من قياس واحد فقط.
شرح المعادلة
ضلعا المثلث القائم متعامدان، لذا يعملان كقاعدة وارتفاع. في المثلث 30-60-90 يكون الضلع القصير \(x\) والضلع الطويل \(x\sqrt{3}\). وبتطبيق معادلة المساحة ½ · القاعدة · الارتفاع نحصل على:
$$A = \tfrac{1}{2} \cdot x \cdot (x\sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}\,x^2$$الضلع الطويل يساوي \(x\sqrt{3}\)، والوتر يساوي \(2x\)، والمحيط هو مجموع الأضلاع الثلاثة.
مثال محلول
لنفترض أن الضلع القصير يساوي 5 وحدات، عندئذٍ:
$$A = \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 5^2 = (0.8660254)\cdot 25 \approx 21.65 \text{ وحدة مربّعة}$$والضلع الطويل \(= 5\sqrt{3} \approx 8.66\)، والوتر \(= 2\cdot 5 = 10\)، والمحيط \(\approx 5 + 8.66 + 10 = 23.66\) وحدة.
الساق القصيرة والمساحة والمحيط في لمحة
في مثلث 30-60-90، تتبع الأضلاع الثلاثة دائماً النسبة \(1 : \sqrt{3} : 2\). إذا كانت الساق القصيرة (المقابلة للزاوية 30°) هي \(x\)، فإن الساق الطويلة تكون \(x\sqrt{3}\)، والوتر يكون \(2x\)، والمساحة تكون \(\frac{\sqrt{3}}{2}x^2\). المحيط هو مجموع الأضلاع الثلاثة: \(x + x\sqrt{3} + 2x = x(3 + \sqrt{3})\).
| الساق القصيرة (x) | الساق الطويلة (x√3) | الوتر (2x) | المساحة (√3/2·x²) | المحيط |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1.73 | 2 | 0.87 | 4.73 |
| 2 | 3.46 | 4 | 3.46 | 9.46 |
| 5 | 8.66 | 10 | 21.65 | 23.66 |
| 10 | 17.32 | 20 | 86.60 | 47.32 |
| 20 | 34.64 | 40 | 346.41 | 94.64 |
لأن كل بعد يتغير مع \(x\)، فإن مضاعفة الساق القصيرة تضاعف المحيط لكنها تضرب المساحة في أربعة.
الثوابت المستخدمة في الحساب
تأتي النسب الثابتة لمثلث 30-60-90 من عدد قليل من الثوابت. معرفة أين يظهر كل واحد منها تجعل صيغة المساحة سهلة التطبيق يدوياً.
| الثابت | القيمة التقريبية | أين يظهر |
|---|---|---|
| \(\sqrt{3}\) | 1.7320508 | معامل الساق الطويلة: الساق الطويلة = \(x\sqrt{3}\). |
| \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) | 0.8660254 | المعامل في صيغة المساحة \(A = \frac{\sqrt{3}}{2}x^2\)، لأن المساحة = ½·(الساق القصيرة)·(الساق الطويلة) = ½·\(x\)·\(x\sqrt{3}\). |
| نسبة الأضلاع | \(1 : \sqrt{3} : 2\) | الساق القصيرة : الساق الطويلة : الوتر — العلاقة المحددة التي تتيح لك إيجاد كل ضلع من \(x\) وحده. |
القيمة \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) هي أيضاً \(\sin 60^\circ\) (أو بشكل مكافئ \(\cos 30^\circ\))، وهذا هو السبب في أنها تحكم كلاً من الساق الطويلة ومساحة هذا المثلث.
الأسئلة الشائعة
أي ضلع هو «الضلع القصير»؟ هو الضلع المقابل للزاوية 30°، وهو دائمًا أقصر الأضلاع الثلاثة.
هل يمكنني استخدام الضلع الطويل بدلًا منه؟ هذه الأداة تتطلب الضلع القصير. إذا كنت تعرف الضلع الطويل L، فاقسمه على \(\sqrt{3}\) للحصول على الضلع القصير \(x = L/\sqrt{3}\)، ثم أدخل هذه القيمة.
ما الوحدة التي تُقاس بها المساحة؟ تكون المساحة بمربّع الوحدة التي تدخلها — فإذا أدخلت السنتيمترات حصلت على سنتيمترات مربّعة.
