什麼是 30-60-90 三角形？
30-60-90 三角形是一種特殊的直角三角形，三個內角分別為 30°、60° 與 90°。由於角度固定，三邊長度永遠維持固定比例 1：√3：2。最短的一邊（短邊）位於 30° 角的對邊，長邊位於 60° 角的對邊，而最長的斜邊則位於直角的對邊。這種可預測的結構，使它在幾何、三角函數、製圖與建築工程中都相當常見。
計算器使用方式
只要輸入短邊（即 30° 角對邊）的長度，單位任你選用。計算器會立即算出以平方單位表示的面積，同時提供長邊、斜邊與完整周長——只需一個測量值，就能完整描述整個三角形。
公式說明
直角三角形的兩條直角邊互相垂直，因此可分別作為底與高。在 30-60-90 三角形中，短邊為 \(x\)，長邊為 \(x\sqrt{3}\)。將面積公式 \(\frac{1}{2} \cdot \text{底} \cdot \text{高}\) 代入後可得：
$$A = \frac{1}{2} \cdot x \cdot (x\sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}\,x^2$$
其中長邊等於 \(x\sqrt{3}\)，斜邊等於 \(2x\)，周長則為三邊長度的總和。
實際範例
假設短邊為 5 個單位，則：
$$A = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 5^2 = 0.8660254 \cdot 25 \approx 21.65 \text{ 平方單位}$$
長邊 \(= 5\sqrt{3} \approx 8.66\)，斜邊 \(= 2 \cdot 5 = 10\)，周長 \(\approx 5 + 8.66 + 10 = 23.66\) 個單位。
短邊、面積與周長一覽
在30-60-90三角形中，三邊總是遵循比例 \(1 : \sqrt{3} : 2\)。如果短邊（與30°角相對）是 \(x\)，那麼長邊是 \(x\sqrt{3}\)，斜邊是 \(2x\)，面積是 \(\frac{\sqrt{3}}{2}x^2\)。周長是三邊之和：\(x + x\sqrt{3} + 2x = x(3 + \sqrt{3})\)。
| 短邊 (x) | 長邊 (x√3) | 斜邊 (2x) | 面積 (√3/2·x²) | 周長 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1.73 | 2 | 0.87 | 4.73 |
| 2 | 3.46 | 4 | 3.46 | 9.46 |
| 5 | 8.66 | 10 | 21.65 | 23.66 |
| 10 | 17.32 | 20 | 86.60 | 47.32 |
| 20 | 34.64 | 40 | 346.41 | 94.64 |
因為每個維度都與 \(x\) 成比例，將短邊加倍會使周長加倍，但會將面積乘以四倍。
計算中使用的常數
30-60-90三角形的固定比例來自幾個常數。了解每個常數出現的位置可以輕鬆地手工應用面積公式。
| 常數 | 近似值 | 出現位置 |
|---|---|---|
| \(\sqrt{3}\) | 1.7320508 | 長邊的乘數：長邊 = \(x\sqrt{3}\)。 |
| \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) | 0.8660254 | 面積公式 \(A = \frac{\sqrt{3}}{2}x^2\) 中的係數，因為面積 = ½·(短邊)·(長邊) = ½·\(x\)·\(x\sqrt{3}\)。 |
| 邊比例 | \(1 : \sqrt{3} : 2\) | 短邊 : 長邊 : 斜邊 — 定義性關係，使您只需從 \(x\) 就能找到每一邊。 |
值 \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) 也是 \(\sin 60^\circ\)（等價於 \(\cos 30^\circ\)），這就是為什麼它控制這個三角形的長邊和面積。
常見問題
哪一邊才是「短邊」？就是 30° 角的對邊，永遠是三邊中最短的一邊。
可以改用長邊輸入嗎？本工具預設輸入短邊。若你已知長邊 L，只要除以 \(\sqrt{3}\) 即可求得短邊 \(x = L/\sqrt{3}\)，再輸入該數值即可。
面積使用什麼單位？面積的單位是你所輸入長度單位的平方——輸入公分，得到的就是平方公分。
