30-60-90 त्रिभुज क्या है?
30-60-90 त्रिभुज एक विशेष समकोण त्रिभुज है, जिसके तीनों कोण क्रमशः 30°, 60° और 90° के होते हैं। चूँकि इसके कोण निश्चित होते हैं, इसलिए इसकी भुजाओं की लंबाई हमेशा एक स्थिर अनुपात \(1 : \sqrt{3} : 2\) में रहती है। सबसे छोटी भुजा (छोटी भुजा) 30° कोण के सामने होती है, लंबी भुजा 60° कोण के सामने होती है, और कर्ण — सबसे लंबी भुजा — समकोण (90°) के सामने होता है। इसी अनुमानित और तय संरचना के कारण यह त्रिभुज ज्यामिति, त्रिकोणमिति, ड्राफ्टिंग और निर्माण कार्य में बेहद लोकप्रिय है।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
30° कोण के सामने वाली छोटी भुजा की लंबाई किसी भी इकाई में दर्ज करें। कैलकुलेटर तुरंत वर्ग इकाई में क्षेत्रफल बता देगा, साथ ही लंबी भुजा, कर्ण और पूरा परिमाप भी — ताकि सिर्फ एक माप से ही आपको पूरे त्रिभुज की जानकारी मिल जाए।
सूत्र को समझें
समकोण त्रिभुज की दोनों भुजाएँ एक-दूसरे पर लंबवत होती हैं, इसलिए वे आधार और ऊँचाई का काम करती हैं। 30-60-90 त्रिभुज में छोटी भुजा x होती है और लंबी भुजा \(x\sqrt{3}\)। ऐसे में ½ · आधार · ऊँचाई वाला क्षेत्रफल सूत्र बन जाता है:
$$A = \tfrac{1}{2} \cdot x \cdot (x\sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}\,x^2$$
लंबी भुजा \(x\sqrt{3}\) के बराबर होती है, कर्ण \(2x\) के बराबर होता है, और परिमाप तीनों भुजाओं के योग के बराबर होता है।
हल किया गया उदाहरण
मान लीजिए छोटी भुजा 5 इकाई है। तब:
$$A = \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 5^2 = (0.8660254)\cdot 25 \approx \textbf{21.65 वर्ग इकाई}$$ लंबी भुजा \(= 5\sqrt{3} \approx 8.66\), कर्ण \(= 2\cdot 5 = 10\), और परिमाप \(\approx 5 + 8.66 + 10 = 23.66\) इकाई।
छोटी भुजा, क्षेत्रफल और परिमाप एक नज़र में
एक 30-60-90 त्रिभुज में तीनों भुजाएँ हमेशा \(1 : \sqrt{3} : 2\) का अनुपात अनुसरण करती हैं। यदि छोटी भुजा (30° के कोण के विपरीत) \(x\) है, तो लंबी भुजा \(x\sqrt{3}\) है, कर्ण \(2x\) है, और क्षेत्रफल \(\frac{\sqrt{3}}{2}x^2\) है। परिमाप सभी तीन भुजाओं का योग है: \(x + x\sqrt{3} + 2x = x(3 + \sqrt{3})\)।
| छोटी भुजा (x) | लंबी भुजा (x√3) | कर्ण (2x) | क्षेत्रफल (√3/2·x²) | परिमाप |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1.73 | 2 | 0.87 | 4.73 |
| 2 | 3.46 | 4 | 3.46 | 9.46 |
| 5 | 8.66 | 10 | 21.65 | 23.66 |
| 10 | 17.32 | 20 | 86.60 | 47.32 |
| 20 | 34.64 | 40 | 346.41 | 94.64 |
क्योंकि प्रत्येक आयाम \(x\) के साथ बढ़ता है, छोटी भुजा को दोगुना करने से परिमाप दोगुना हो जाता है लेकिन क्षेत्रफल को चार गुना कर देता है।
गणना में उपयोग किए गए स्थिरांक
एक 30-60-90 त्रिभुज के निश्चित अनुपात कुछ स्थिरांकों से आते हैं। यह जानना कि प्रत्येक कहाँ प्रकट होता है, क्षेत्रफल सूत्र को हाथ से लागू करना आसान बनाता है।
| स्थिरांक | अनुमानित मान | यह कहाँ प्रकट होता है |
|---|---|---|
| \(\sqrt{3}\) | 1.7320508 | लंबी भुजा के लिए गुणक: लंबी भुजा = \(x\sqrt{3}\)। |
| \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) | 0.8660254 | क्षेत्रफल सूत्र \(A = \frac{\sqrt{3}}{2}x^2\) में गुणांक, क्योंकि क्षेत्रफल = ½·(छोटी भुजा)·(लंबी भुजा) = ½·\(x\)·\(x\sqrt{3}\)। |
| भुजाओं का अनुपात | \(1 : \sqrt{3} : 2\) | छोटी भुजा : लंबी भुजा : कर्ण — यह परिभाषित संबंध है जो आपको \(x\) अकेले से हर भुजा खोजने देता है। |
मान \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) यह भी है \(\sin 60^\circ\) (समान रूप से \(\cos 30^\circ\)), यही कारण है कि यह इस त्रिभुज की लंबी भुजा और क्षेत्रफल दोनों को नियंत्रित करता है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल (FAQ)
"छोटी भुजा" कौन-सी होती है? यह 30° कोण के सामने वाली भुजा होती है, जो हमेशा तीनों भुजाओं में सबसे छोटी होती है।
क्या मैं छोटी भुजा की जगह लंबी भुजा इस्तेमाल कर सकता हूँ? यह टूल छोटी भुजा माँगता है। अगर आपको लंबी भुजा L मालूम है, तो उसे \(\sqrt{3}\) से भाग दें ताकि छोटी भुजा \(x = L/\sqrt{3}\) मिल जाए, फिर वही मान दर्ज करें।
क्षेत्रफल किस इकाई में आता है? क्षेत्रफल उसी इकाई के वर्ग में आता है जो आपने दर्ज की है — सेंटीमीटर दर्ज करें तो वर्ग सेंटीमीटर मिलेगा।
